Готовые решения задач

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью v=3,6 м/с под острым углом α к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u=\frac{m}{m+M}·v·\cos \alpha$ (м/с), где m=75 кг - масса скейтбордиста со скейтом, а М=375 кг - масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне ${\mathrm{Т}}_{\mathrm{п}}=25°\mathrm{С},$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m=0,5$ кг/с. Проходя по трубе расстояние х, вода охлаждается от начальной температуры ${\mathrm{Т}}_{\mathrm{в}}=81°\mathrm{С}$ до температуры Т, причем $x=\alpha \frac{cm}{\gamma }{\log }_2\frac{T_{в}-{Т}_{п}}{Т-{Т}_{п}},$ где $с=4200$ - теплоемкость воды, $\gamma =42$ - коэффициент теплообмена, а $\alpha =1,1$ - постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 110 м.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta =\frac{{Т}_1-{Т}_2}{{Т}_1}·100\%,$ где Т₁ - температура нагревателя (в кельвинах), Т₂ - температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре Т₁ нагревателя КПД этого двигателя будет 25%, если температура холодильника Т₂=336 К? Ответ дайте в кельвинах.

Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону $v=v_0\sin \frac{2\pi t}{T},$ где t - время с момента начала колебаний, T=6 с - период колебаний, v₀=2 м/с. Кинетическая энергия Е (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E=\frac{m{v}^2}{2},$ где m - масса груза в килограммах, v - скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 4 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте h км над землей, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l=\sqrt{2Rh}$, где R=6400 км - радиус Земли. Человек, стоящий у подножия смотровой площадки, видит горизонт на расстоянии 8 км. На сколько километров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 24 км?

В январе 2028 года Елена планирует открыть вклад на 4 года на целое число миллионов рублей, а в январе 2029, 2030 и 2031 годов дополнительно вносить на этот вклад ещё по 1 млн рублей. Банк предложил Елене два варианта условий по вкладу. 

В обоих вариантах условий в декабре каждого года действия вклада начисляются проценты на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.

По первому варианту процентная ставка по годам составляет 10, 10, 20 и 20 процентов соответственно, а по второму – 20, 20, 10 и 10 процентов.

Елена выбрала наиболее выгодное предложение. Найдите наименьший первоначальный взнос по вкладу, если при закрытии вклада через 4 года итоговая сумма должна составить не менее 11 млн рублей. Ответ дайте в миллионах рублей.

В июне 2028 года Иван Петрович планирует взять кредит на 6 лет в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года долг увеличивается на 20% от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по июнь в каждый из 2029, 2030, 2031 и 2032 годов необходимо выплатить только проценты по кредиту, начисленные в январе соответствующего года;

- в период с февраля по июнь в каждый из 2033 и 2034 годов платежи по кредиту равные, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью.

Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту превысит 12 млн рублей.

В июле Максим планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил Максиму два варианта кредитования.

1-й вариант:

- кредит предоставляется на 3 года;

- в январе каждого года действия кредита долг, увеличивается на 20% от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.

2-й вариант:

- кредит предоставляется на 2 года;

- в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 24%;

- в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.

Когда Максим подсчитал, то выяснил, что по 1-му варианту кредитования ему придётся выплачивать на 373 600 рублей больше, чем по 2-му варианту. Какую сумму Максим планирует взять в кредит?

В июне 2025 года Вадим Олегович планирует взять кредит в банке на 4 года. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 20 % от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по июнь каждого из 2026, 2027 и 2028 годов необходимо выплатить часть долга, причём каждый из платежей 2027 и 2028 годов в 1,6 раза больше платежа предыдущего года;

- в период с февраля по июнь 2029 года выплачивается оставшаяся сумма по кредиту, равная 1 770 240 рублям.

Найдите сумму кредита, если общие выплаты по нему составили 8 994 240 рублей.

В июле 2027 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

–  с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

– в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– к июлю 2037 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2029 году?

В мае 2028 года планируется взять кредит на 6 лет в размере 1324 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в мае 2029, 2030 и 2031 годов долг остается равным 1324 тыс. рублей;

- выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;

- к маю 2034 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат по кредиту.

В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на 1,6 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июнь предыдущего года;

- в июне 2032 года выплачивается остаток по кредиту в размере 468 тыс. рублей.

Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составит 2280 тыс. рублей.

Предприятие планирует 1 июня 2029 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8,8 млн рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?

В июне 2028 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 22% по сравнению с концом предыдущего года;

- каждый январь с 2034 по 2038 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года;

- к июню 2038 года кредит должен быть полностью погашен.

На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2033 года?

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 324000 рублей.

Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?