В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на 1,6 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:- в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;- с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;- в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июнь предыдущего года;- в июне 2032 года выплачивается остаток по кредиту в размере 468 тыс. рублей.Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составит 2280 тыс. рублей. Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

989

08 ноября 2025

В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на 1,6 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июнь предыдущего года;

- в июне 2032 года выплачивается остаток по кредиту в размере 468 тыс. рублей.

Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составит 2280 тыс. рублей.

Решение задачи

Дано (расшифровку в задаче писать не нужно):

S = 1600 тыс. - сумма, которая берется в кредит

n = 4 года - срок кредитования

r% - проценты, которые начисляются на сумму долга в первые шесть месяцев

m = 1 + r/100 - полезный коэффициент, позволяющий сразу вычислить чему равен долг после начисления процентов

x_n - выплаты

х₁ + ... + x₄ = 2280 тыс. - общая сумма выплат

x₄ = 468 тыс.

Найти: r.

Решение:

Долг уменьшается на одну и ту же величину каждый месяц в течение трех лет. Обозначим эту величину за y.

1 год.

На сумму долга S начисляются r%, т.е. долг увеличивается в m раз, производится первая выплата х₁ и долг уменьшается на y тысяч.

$S m - x_{1} = S - y .$

Выразим первую выплату:

$x_{1} = S m - S + y; x_{1} = 1600 m - 1600 + y .$

2 год.

На сумму долга (S-y) начисляются r%, т.е. долг увеличивается в m раз, производится вторая выплата х₂ и долг уменьшается на y тысяч.

$(S - y) m - x_{2} = S - y - y = S - 2 y .$

Вторую выплату выражать не будем.

3 год.

На сумму долга (S-2y) начисляются r%, т.е. долг увеличивается в m раз, производится третья выплата х₃ и долг уменьшается на y тысяч.

$(S - 2 y) m - x_{3} = S - 2 y - y = S - 3 y .$

Выразим третью выплату:

$x_{3} = (S - 2 y) m - S + 3 y; x_{3} = 1600 m - 2 y m - 1600 + 3 y .$

4 год.

На сумму долга (S-3y) начисляются r%, т.е. долг увеличивается в m раз, производится четвертая выплата х₄ и долг погашен.

$(S - 3 y) m - x_{4} = 0 .$

Выразим из этого равенства y.

$1600 m - 3 y m = 468; y = \frac{1600 m - 468}{3 m} .$

Т.к. дана общая сумма выплат, то нам надо сложить все четыре выплаты, причем первые три будем складывать через формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии: $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n .$

Итак,

$x_{1} + . . . + x_{4} = \frac{x_{1} + x_{3}}{2} \cdot 3 + x_{4} = = \frac{1600 m - 1600 + y + 1600 m - 2 y m - 1600 + 3 y}{2} \cdot 3 + 468 = 2280; \frac{3200 m - 3200 + 4 y - 2 y m + 3 y}{2} \cdot 3 = 1812; 1600 m - 1600 + 2 y - y m = 604 .$

Вместо y подставим выражение, которое получилось ранее, выполним очень неприятные преобразование, решим квадратное уравнение и найдем m.

$1600 m - 1600 + 2 \cdot \frac{1600 m - 468}{3 m} - m \cdot \frac{1600 m - 468}{3 m} = 604 / \cdot 3 m \neq 0 4800 m^{2} - 4800 m + 3200 m - 926 - 1600 m^{2} + 468 m = 1812 m; 3200 m^{2} - 2944 m - 936 = 0 / : 8 400 m^{2} - 368 m - 117 = 0; D = 368^{2} - 4 \cdot 400 \cdot (- 117) = 322624, \sqrt{D} = 568 m_{1} = \frac{368 + 568}{800} = 1, 17 m_{2} = \frac{368 - 568}{800} < 0$

Если m=1,17, то r=17%. Убедимся в этом.

$m = 1 + \frac{r}{100} = 1, 17; \frac{r}{100} = 0, 17; r = 0, 17 \cdot 100 = 17 % .$

Ответ: 17%.

Попробуй решить самостоятельно

В июле 2029 года планируется взять кредит в банке на 2 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июне 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- в июле 2033 года выплачивается остаток по кредиту в размере 406 тыс. рублей.

Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составит 2752 тыс. рублей.

Ответ:

16%.

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам