Решения задач
Материалы для печати
Презентации
Готовые решения задач
В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 18 квадратных столиков вдоль одной линии?
В амфитеатре 24 ряда, причем в каждом следующем ряду на одно и тоже число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в седьмом ряду 31 место.
а) Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
б) Сколько всего мест в амфитеатре?
На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны АВ.
а) Докажите, что СМ = 1/2DK.
б) Найдите расстояние от точки М до центров квадратов, если АС = 10, ВС = 32 и ∠АСВ = 30°.
Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30°. Точка Е лежит вне прямоугольника, причем ∠ВЕС = 120°.
а) Докажите, что ∠СВЕ = ∠СОЕ.
б) Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке К. Найдите ЕК, если известно, что ВЕ = 40 и СЕ = 24.
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. Известно, что АВ=6, ВС=5, АС=9.
а) Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам.
б) Пусть Р - точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : PN.
При каких значениях а выражение 1+sinx(3sinx+acosx) не равно нулю ни при каких значениях х?
При каких значениях параметра n уравнение 15 · 10х - 20 = n - n · 10x+1 не имеет корней?
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет решения.
При каких значениях параметра а корни уравнения (а+1)x2-(a2+2a)x-a-1=0 принадлежат отрезку [-2; 2]?
При каких значениях параметра a уравнение 2а2+2ах-2х2-8а-6х+10|x|=0 имеет более трех корней?
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На его ребре ВВ1 отмечена точка К так, что КВ = 3. Через точки К и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что А1Р = РВ1 = 1 : 2, где Р - точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
в) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани ВВ1С1С.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1, причем СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 30°, АВ = √2, СС1 = 2.
а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 45°.
б) Найдите объем цилиндра.
в) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1.
г) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В1 и С1, причем ВВ1 - образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите объем цилиндра, если АВ = 7, ВВ1 = 24, В1С1 = 10.
в) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
г) Найдите угол между ВВ1 и АС1.
д) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1.
Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, вписанной в окружность, равен 52°. Найдите угол В этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 68°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.