Решения задач

648
25 января 2023

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В1 и С1, причем ВВ1 - образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС1 прямой.

б) Найдите объем цилиндра, если АВ = 7, ВВ1 = 24, В1С1 = 10.

в) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

г) Найдите угол между ВВ1 и АС1.

д) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1.

Решение задачи

а) По условию образующая ВВ1 перпендикулярна основанию, значит, ВВ1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания. Плоскость ВВ1С1 содержит прямую ВВ1, перпендикулярную основанию, значит вся плоскость ВВ1С1 перпендикулярна основанию. Т.к. ВС1 лежит в плоскости ВВ1С1, то она тоже будет перпендикулярна основанию, а значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основанию, в том числе и прямой АВ. Отсюда, АВС1 - прямой.

Как записать?

ВВ1⊥(АВО) и ВВ1⊂(ВВ1С1) ⇒ С1В⊥(АВО), т.к. С1В⊂(ВВ1С1) (по признаку перпендикулярности плоскостей). Отсюда, С1В⊥АВ и ∠АВС1 - прямой.

Признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

б) Проведем образующую СС1⊥(АВО). Т.к. АС1 проходит через ось цилиндра, то АС - проекция наклонной АС1 на плоскость АВО и АС - диаметр нижнего основания.

ВВ1 = СС1 = 24 и ВВ1 || СС1 ⇒ ВВ1С1С - прямоугольник и ВС = В1С1 = 10.

Рассмотрим треугольник АВС. Угол СВА опирается на диаметр АС, значит ∠СВА = 90° и ΔАВС - прямоугольный.

По теореме Пифагора: АС2 = ВС2 + АВ2.

АС2 = 102 + 72 = 100 + 49 = 149;

АС = √149 - диаметр, R = √149/2.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, т.e. V = πR2h.

V = π(√149/2)2 · 24 = 894π.

в) Sбок = 2πRh = 2π · √149/2 · 24= 24π√149.

г) Т.к.ВВ1 || CC1, то угол СС1В - искомый.

ΔС1СА - прямоугольный, т.к. СС1⊥(АВО).

Выразим тангенс угла СС1В.

д) Рассмотрим плоскость ВАС1. Расстоянием будет являться перпендикуляр, проведенный из точки В к прямой АС1.

ВН - высота прямоугольного треугольника ВАС1 и будет искомым расстоянием (см. рисунок ниже).

Из треугольника ВВ1С1 по теореме Пифагора:

Из треугольника АСС1 по теореме Пифагора:

Найдем площадь треугольника АВС1 через катеты:

Найдем площадь треугольника АВС1 через основание и высоту:

Площадь треугольника не меняется от способа вычислений, поэтому

Ответ: б) 894π; в) 24π√149; г) arctg(√149/24); д) (182√29)/145.

Попробуй решить самостоятельно

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В1 и С1, причем ВВ1 - образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС1 прямой.

б) Найдите объем цилиндра, если АВ = 9, ВВ1 = 12, В1С1 = 8.

Ответ:

б) 435π.

Показать ответ

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В1 и С1, причем ВВ1 - образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС1 прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если АВ = 15, ВВ1 = 21, В1С1 = 20.

Ответ:

б) 105π√7.

Показать ответ

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В1 и С1, причем ВВ1 - образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС1 прямой.

б) Найдите угол между ВВ1 и АС1 если АВ = 20, ВВ1 = 15, В1С1 = 21.

Ответ:

б) arctg7/5.

Показать ответ

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В1 и С1, причем ВВ1 - образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС1 прямой.

б) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1, если АВ = 15, ВВ1 = 16, В1С1 = 12.

Ответ:

б) 12.

Показать ответ
Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Задачи по темам

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,
Для персонализации сервисов и удобства работы на сайте используется "Яндекс.Метрика" и файлы "cookie". Продолжая использовать сайт, вы даете согласие на обработку персональных данных и подтверждаете, что ознакомлены с Политикой обработки персональных данных.
Хорошо