Решения задач
Материалы для печати
Презентации
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. Известно, что АВ=6, ВС=5, АС=9.
а) Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам.
б) Пусть Р - точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : PN.
Решение задачи

а) Рассмотрим ΔАВС. По свойству биссектрисы (Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон):

ΔАBN - равнобедренный, т.к. АО - биссектриса (по условию) и высота (BN⊥AM), а значит, и медиана ⇒ АВ = АN = 6 и ВО = ON.
NC = AC - AN = 9 - 6 = 3.
ΔCMN - равнобедренный, т.к. MC = CN = 3, значит, CK - биссектриса, а следовательно, и медиана, и высота. Отсюда, MK = KN.
б) ΔPMC - равнобедренный, т.к. PK - медиана (MK = KN) и высота (CK⊥MN), значит, PM = PN.

Рассмотрим ΔAMC с биссектрисой СР. По свойству биссетрис

Ответ: б) 3 : 1
Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!