Решения задач

902
26 января 2023

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1, причем СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 30°, АВ = √2, СС1 = 2.

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 45°.

б) Найдите объем цилиндра.

в) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1.

г) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 

Решение задачи

а) Т.к. СС1 перпендикулярно плоскости основания, то СС1 перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, т.е. СС1⊥ВС.

Проведем образующую ВВ1 перпендикулярно плоскости основания. ВВ1С1С - прямоугольник, т.к. ВВ1 || СС1, а значит, ВВ1⊥ВС. Отсюда B1C1|| BC и ∠В1С1А - искомый угол (рисунок ниже).

Т.к. АС - диаметр, то угол ∠АВС = 90° (вписанный угол, опирающийся на дугу в 180°) ⇒ ΔАВС - прямоугольный. 

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, значит, АС = 2АВ = 2√2.

По теореме Пифагора найдем ВС:

(рисунок ниже)

Пусть АА1 - образующая, тогда АА1В1В - прямоугольник с диагональю АВ1.

По теореме Пифагора найдем АВ1:

Треугольник АВ1С1 - равнобедренный, т.к. АВ1 = ВС = √6. Найдем АС1 и докажем, что треугольник АВ1С1 - прямоугольный.

Из ΔАСС1 по теореме Пифагора найдем АС1:

(рисунок ниже)

Проверим с помощью теоремы Пифагора является ли треугольник АВ1С1 прямоугольным:

Значит, АВ1С1 - прямоугольный, а также, равнобедренный, и его острые углы равны 45°, т.е. ∠В1С1А = 45°.

б) Чтобы найти объем цилиндра нужно площадь основания умножить на высоту (высота равна образующей, а радиус равен половине диаметра АС).

V = πR2h = π · (√2)2 · 2 = 4π

в) По теореме о трех перпендикулярах СС1⊥ВС, ВС⊥АВ ⇒ BC1 ⊥ АВ, значит ∠АВС1 = 90° и ΔАВС1 - прямоугольный.

Рассмотрим плоскость АВС1. Перпендикуляр ВН, проведенный к гипотенузе АС1 - искомое расстояние от точки В до прямой АС1.

Из ΔВСС1 по теореме Пифагора найдем ВС1:

Выразим площадь треугольника АВС1 двумя способами: через кататы и через основание и высоту:

Площадь треугольника не меняется от способа вычисления, поэтому

г) Для нахождения площади боковой поверхности нужно длины окружности основания умножить на высоту(длина окружности - это произведение числа пи и диаметра, высота равна образующей цилиндра).

Sбок = πdh = π · AC · CC1 = π · 2√2 · 2 = 4π√2.

Ответ: б) 4π; в) √15/3; г) 4π√2.

Попробуй решить самостоятельно

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1, причем СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 30°, АВ = √6, СС1 = 2√3.

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 45°.

б) Найдите объем цилиндра.

Ответ:

б) 12π√3.

Показать ответ

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1, причем СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 30°, АВ = 1, СС1 = 2√2.

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Ответ:

а) Здесь не нужно определять вид треугольника, как в образце; угол определяем по теореме косинусов.

б) 4π√2.

Показать ответ

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1, причем СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 45°, АВ = 2√3, СС1 = 2√6.

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°.

б) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1.

Ответ:

б) √3/2.

Показать ответ
Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Задачи по темам

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,
Для персонализации сервисов и удобства работы на сайте используется "Яндекс.Метрика" и файлы "cookie". Продолжая использовать сайт, вы даете согласие на обработку персональных данных и подтверждаете, что ознакомлены с Политикой обработки персональных данных.
Хорошо