Решения задач
Материалы для печати
Презентации
На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны АВ.
а) Докажите, что СМ = 1/2DK.
б) Найдите расстояние от точки М до центров квадратов, если АС = 10, ВС = 32 и ∠АСВ = 30°.
Решение задачи

Достроим треугольник АВС до параллелограмма ACBZ

а) Пусть ∠DCK = α, тогда ∠ACB = 180° - α (не забываем, что по бокам углы по 90°).
Т.к. ACBZ - параллелограмм, то АС || BZ и ∠CBZ = 180° - ∠ACB = 180° - (180° - α) = α (сумма односторонних углов равна 180°).
ΔCDK = ΔСBZ по двум сторонам и углу между ними, т.к. ∠DCK = ∠ACB = α; CD = CA и KC = CB (как стороны квадратов). Из равенства треугольников следует, что DK = CZ.
CZ - диагональ параллелограмма и точкой пересечения M делится пополам. Следовательно, СМ =1/2СZ = 1/2DK.
б) Пусть О - центр квадрата AEDC. Тогда MO - одно из искомых расстояний.
В треугольнике ADB MO - средняя линия, параллельная основанию BD.
Длину BD найдем из треугольника CDB.

∠DCK = 180° - ∠ACB = 180° - 30° = 150°; ∠DCB = 150° + 90° = 240°.
По теореме косинусов

Аналогично найдем второе расстояние. Пусть О1 - центр квадрата CKFB. Тогда MO1 - второе из искомых расстояний.
В треугольнике ABK MO1 - средняя линия, параллельная основанию AK.
Длину АК найдем из треугольника АСК.

∠АСК = 150° + 90° = 240°.
По теореме косинусов

Ответ: б) 19; 19.
Попробуй решить самостоятельно
На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны АВ.
а) Докажите, что СМ = 1/2DK.
б) Найдите расстояние от точки М до центров квадратов, если АС = 6, ВС = 10 и ∠АСВ = 30°.
б) 7; 7.
На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны АВ.
а) Докажите, что СМ = 1/2DK.
б) Найдите расстояние от точки М до центров квадратов, если АС = 14, ВС = 16 и ∠АСВ = 150°.
б) 13; 13.
Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!