Решения задач
Материалы для печати
Презентации
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение задачи
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны: АВ + CD = BC + AD.
Каждая из этих сумм будет равна полупериметру. Значит, ВС + AD = 100 (сразу выразим AD, это пригодится: АD = 100 - BC) и АВ + СD = 100.
Т.к. трапеция равнобедренная, то АВ = CD = 100 : 2 = 50.

Запишем формулу для нахождения площади трапеции и через нее найдем высоту ВH:Т.к. ВН, MN и СН1 – перпендикуляры, заключенные между параллельными прямыми, то ВН=MN=СН1=40.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. По теореме Пифагора:
Т.к. ВН, MN и СН1 – перпендикуляры, заключенные между параллельными прямыми, то ВН = MN = СН1 = 40.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. По теореме Пифагора:
АН2 = АВ2 - ВН2 = 502 - 402 = 2500 - 1600 = 900;
АН = 30.
Треугольники АВН и СDH1 равны по гипотенузе и острому углу (АВ = CD, ∠А = ∠D, т.к. трапеция равнобедренная), значит, АН = Н1D = 30.
Т.к. ВС + AD = 100 и ВC = HH1, то ВС + HH1 + 30 + 30 = 100,
2BC = 40;
BC = 20 и АD = 100 - 20 = 80.

Треугольники ВОС и АОD подобны по двум парам накрест лежащих углов (∠СВО = ∠BDA; ∠ВСО = ∠CAD).
Коэффициент подобия этих треугольников равен k = ВС/AD = 20/80=1/4.
Высоты МО и ON этих треугольников, проведенные к сходственным сторонам, так же будут иметь отношение 1 к 4.'
Если MN = 40, то ON = MN - MO = 40 - MO. Подставим эту замену и решим уравнение:
Ответ: 8.
Попробуй решить самостоятельно
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
4.
Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!