В прямоугольнике ABCD через вершину B перпендикулярyю диагонали AC проведена прямая, пересекающая сторону AD в точке M, равноудаленной от вершин B и D.а) Докажите, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части.б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой CM, если BC=√3. Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

27 сентября 2026

В прямоугольнике ABCD через вершину B перпендикулярyю диагонали AC проведена прямая, пересекающая сторону AD в точке M, равноудаленной от вершин B и D.

а) Докажите, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой CM, если BC=√3.

Решение задачи

а)

1) Если точка М равноудалена от вершин B и D, то BM=MD. Тогда треугольник BMD - равнобедренный и ∠MBD=∠BDM=α как углы при основании.

2) ∠BDM=∠CBD=α - как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей BD.

3) В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, а значит, образуют равнобедренные треугольники. Отсюда, ∠CBD=∠BCA=α.

В прямоугольном треугольнике ABC если ∠BCA=α, то ∠BAC=90-α.

В прямоугольном треугольнике ABO если ∠BAO=90-α, то ∠ABO=90-(90-α)=α.

Таким образом, ∠ABC состоит из трех углов α, т.е. делится на три равные части.

б) HH₁ - искомое расстояние. На рисунках оно появится чуть позже, чтобы не нагромождать.

Так как ∠ABC=3α=90°, то α=30°.

1) В прямоугольном треугольнике BOC напротив угла в 30 градусов лежит катет, который в 2 раза меньше гипотенузы. Значит,

$B O = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

2) В прямоугольном треугольнике BOH выразим косинус угла OBH и найдем длину BH.

$\cos O B H = \frac{B O}{B H} \Rightarrow \cos 30 = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{B H} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{B H} \Rightarrow B H = 1 .$

3) В треугольнике ABH отрезок BO является биссектрисой и высотой, значит, треугольник ABH - равнобедренный и AB=BH=1. К тому же CD тоже будет равно 1.

4) В прямоугольном треугольнике ABM выразим косинус угла ABM и найдем длину BM и MD.

$\cos A B M = \frac{A B}{B M} \Rightarrow \cos 30 = \frac{1}{B M} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{B M} \Rightarrow B M = \frac{2}{\sqrt{3}} = M D .$

5) В прямоугольном треугольнике CDM по теореме Пифагора найдем CM.

$С M = \sqrt{C D^{2} + M D^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{7}{3}} .$

6) Найдем длину отрезка OM.

$O M = B M - B O = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 - 3}{2 \sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} .$

7) В прямоугольном треугольнике OCM выразим синус угла OCM.

$\sin O C M = \frac{O M}{C M} = \frac{\sqrt{3}}{6} : \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{3}{6 \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14} .$

8) В прямоугольном треугольнике CHH₁ CH=1 (половинка диагонали, как и BH). Через синус угла OCM найдем длину HH₁.

$\sin O C M = \frac{H H_{1}}{C H} \Rightarrow \frac{\sqrt{7}}{14} = \frac{H H_{1}}{1} \Rightarrow H H_{1} = \frac{\sqrt{7}}{14} .$

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{14} .$

Попробуй решить самостоятельно

а) Докажите, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой CM, если BC=√7.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{6} .$

Показать ответ

а) Докажите, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой CM, если BC=21.

Ответ:

$\frac{\sqrt{21}}{2} .$

Показать ответ

а) Докажите, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой CM, если BC=√2.

Ответ:

$\frac{\sqrt{42}}{42} .$

Показать ответ

а) Докажите, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой CM, если BC=√5.

Ответ:

$\frac{\sqrt{105}}{42} .$

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам