В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей? Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

311

07 января 2026

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?

Решение задачи

Дано:

S = 10 млн. рублей - сумма кредита

n лет - срок кредитования

a = 10% - проценты, которые начисляются на сумму долга

m = 1 + a/100 = 1,1 - полезный коэффициент, позволяющий сразу вычислить чему равен долг после начисления процентов

x_n - выплаты

х₁ + х_n = 15 млн рублей

Найти: n.

Решение:

Долг уменьшается на одну и ту же величину в период всего кредитования. Для нахождения этой величины разделим сумму кредита на количество лет: $\frac{S}{n} .$

1 год.

На сумму долга S начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится первая выплата x₁. Долг уменьшается на $\frac{S}{n} .$

$S m - x_{1} = S - \frac{S}{n} .$

Выразим первую выплату:

$x_{1} = S m - S + \frac{S}{n} .$

Подставим известные величины:

$x_{1} = 10 \cdot 1, 1 - 10 + \frac{10}{n} = 1 + \frac{10}{n} = \frac{n + 10}{n} .$

2 год.

На сумму долга $(S - \frac{S}{n})$ начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится вторая выплата x₂. Долг уменьшается на $\frac{S}{n} .$

$(S - \frac{S}{n}) m - x_{2} = S - \frac{S}{n} - \frac{S}{n} = S - \frac{2 S}{n} .$

Вторую выплату выражать не надо.

Распишем третий год, чтобы проследить закономерность изменения формул и сразу выразить n-ый год.

3 год.

На сумму долга $(S - \frac{2 S}{n})$ начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится третья выплата x₃. Долг уменьшается на $\frac{S}{n} .$

$(S - \frac{2 S}{n}) m - x_{3} = S - \frac{2 S}{n} - \frac{S}{n} = S - \frac{3 S}{n} .$

Закономерность заключается в том, что в скобках перед S стоит число, которое на единицу меньше, чем номер года.

n-ый год.

На сумму долга $(S - \frac{(n - 1) S}{n})$ начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится десятая выплата x_n. Долг погашен.

$(S - \frac{(n - 1) S}{n}) m - x_{n} = 0 .$

Выразим n-ую выплату:

$x_{n} = (S - \frac{(n - 1) S}{n}) m .$

Подставим известные величины:

$x_{n} = (10 - \frac{(n - 1) \cdot 10}{n}) \cdot 1, 1 = 11 - \frac{11 (n - 1)}{n} = \frac{11}{n} .$

Так как долг уменьшается на одну и ту же величину в период всего срока кредитования, то мы можем сложить все выплаты, используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n .$

$x_{1} + . . . + x_{n} = \frac{x_{1} + x_{n}}{2} \cdot n = \frac{\frac{n + 10}{n} + \frac{11}{n}}{2} \cdot n = = \frac{n + 10 + 11}{2} = \frac{n + 21}{2} .$

По условию задачи сказано, что общая сумма выплат равна 15 млн рублей, значит:

$\frac{n + 21}{2} = 15; n + 21 = 30; n = 9 лет .$

Ответ: 9 лет.

Попробуй решить самостоятельно

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Ответ:

4 года.

Показать ответ

15-го июля планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что сумма всех платежей составит 366 тысяч рублей?

Ответ:

10 месяцев.

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам