Решения задач

719
08 декабря 2023

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет на сумму 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2027, 2028, 2029, 2030, 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- в июле 2032, 2033, 2034, 2035, 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платеж в 2027 году?

Решение задачи

Дано:

S = 1300 тыс. руб - сумма, взятая в кредит

n = 10 лет - срок кредитования

a = 20% - проценты, которые начисляются ежегодно

m = 1 + a/100 = 1,2 - полезный коэффициент, показывающий во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

x – уменьшение долга в первые 5 лет

y – уменьшение долга во вторые 5 лет

Bn – выплаты

B1 + B10 = 2780 тыс. рублей

Найти: В1.

 

Решение:

2027 год.

На сумму S начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится первая выплата B1. При этом сумма долга S уменьшится на х тыс. рублей.

Sm-B1=S-x.

Выразим B1 и подставим в выражение известные величины.

B1=Sm-(S-x);B1=1300·1,2-1300+x=260+x.

 

2028 год.

На остаток долга (S-x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится вторая выплата В2. При этом сумма долга (S-x) уменьшается на x.

(S-x)m-B2=S-2x.

Вторую выплату выражать не надо.

 

2029 год.

На остаток долга (S-2x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится третья выплата В3. При этом сумма долга (S-2x) уменьшается на x.

(S-2x)m-B3=S-3x.

Третью выплату выражать не надо.

 

Если заметили закономерность в формулах, то можно сразу перейти к 2031 году. Я всё же распишу 2030 год на всякий случай.

 

2030 год.

На остаток долга (S-3x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится четвертая выплата В4. При этом сумма долга (S-3x) уменьшается на x.

(S-3x)m-B4=S-4x.

Четвертую выплату выражать не надо.

 

2031 год.

На остаток долга (S-4x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится пятая выплата В5. При этом сумма долга (S-4x) уменьшается на x.

(S-4x)m-B5=S-5x.

Выразим В5 и подставим имеющиеся величины в формулу.

B5=(S-4x)m-(S-5x);B5=(1300-4x)·1,2-1300+5x=260+0,2x.

 

Первые 5 лет прошли. Начинаются следующие 5 лет.

 

2032 год.

На остаток долга (S-5x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится шестая выплата В6. При этом сумма долга (S-5x) уменьшается на y.

(S-5x)m-B6=S-5x-y.

Выразим В6 и подставим имеющиеся величины в формулу.

B6=(S-5x)m-(S-5x-y);B6=(1300-5x)·1,2-1300+5x+y=260-x+y.

 

2033 год.

На остаток долга (S-5x-y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится седьмая выплата В7. При этом сумма долга (S-5x-y) уменьшается на y.

(S-5x-y)m-B7=S-5x-2y.

Седьмую выплату выражать не надо.

 

2034 год.

На остаток долга (S-5x-2y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится восьмая выплата В8. При этом сумма долга (S-5x-2y) уменьшается на y.

(S-5x-2y)m-B8=S-5x-3y.

Восьмую  выплату выражать не надо.

Увидели закономерность? Переходите сразу к 2036 году. Не увидели? Продолжаем расписывать.

 

2035 год.

На остаток долга (S-5x-3y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится девятая выплата В9. При этом сумма долга (S-5x-3y) уменьшается на y.

(S-5x-3y)m-B9=S-5x-4y.

Девятую выплату выражать не надо.

 

2036 год.

На остаток долга (S-5x-4y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится десятая выплата В10 и долг наконец-то погашен и равен 0.

(S-5x-4y)m-B10=S-5x-5y=0.

Подставляем известные величины и выражаем В10.

B10=(S-5x-4y)m;B10=(1300-5x-4y)·1,2=1560-6x-4,8y.

Кстати говоря, из равенства S-5x-5y=0 следует, что 5x+5y=1300.

 

Общая сумма выплат, равная 2780 тыс. рублей, - это все платежи за 10 лет. Просуммируем все десять выплат. Т.к. сумма долга, а значит, и выплаты, уменьшаются равномерно, то мы имеем дело с арифметической прогрессией. Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии для первых пяти лет и для вторых пяти:Sn=a1+an2·n.

B1+...+B5+B6+...+B10=B1+B52·5+B6+B102·5==260+x+260+0,2x2·5+260-x+y+1560-6x-4,8y2·5=......=52(520+1,2x+1820-7x-3,8y)=52(2340-5,8x-3,8y)=2780.

 

Решим уравнение:

52(2340-5,8x-3,8y)=2780.

Т.к. 5x + 5y = 1300, то y=1300-5x5=260-x. 

 

Сделаем замену и получим уравнение относительно одного неизвестного.

52(2340-5,8x-3,8(260-x))=2780        /·252340-5,8x-3,8(260-x)=1112;-5,8x-988+3,8x=-1228;-2x=-240;x=120.

 

Подставим найденный х в формулу для нахождения выплаты за 2027 год (В1):

B1=260+x=260+120=380 тыс. рублей.

Ответ: 380 000 рублей.

Попробуй решить самостоятельно

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1250 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2035 году?

Ответ:

52 000 рублей.

Показать ответ

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1400 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг будет возрастать на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2120 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

Ответ:

300 000 рублей.

Показать ответ
Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Задачи по темам

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,
Для персонализации сервисов и удобства работы на сайте используется "Яндекс.Метрика" и файлы "cookie". Продолжая использовать сайт, вы даете согласие на обработку персональных данных и подтверждаете, что ознакомлены с Политикой обработки персональных данных.
Хорошо