Решения задач
Материалы для печати
Презентации
В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет на сумму 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028, 2029, 2030, 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2032, 2033, 2034, 2035, 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платеж в 2027 году?
Решение задачи
Дано:
S = 1300 тыс. руб - сумма, взятая в кредит
n = 10 лет - срок кредитования
a = 20% - проценты, которые начисляются ежегодно
m = 1 + a/100 = 1,2 - полезный коэффициент, показывающий во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.
x – уменьшение долга в первые 5 лет
y – уменьшение долга во вторые 5 лет
Bn – выплаты
B1 + B10 = 2780 тыс. рублей
Найти: В1.
Решение:
2027 год.
На сумму S начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится первая выплата B1. При этом сумма долга S уменьшится на х тыс. рублей.
Выразим B1 и подставим в выражение известные величины.
2028 год.
На остаток долга (S-x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится вторая выплата В2. При этом сумма долга (S-x) уменьшается на x.
Вторую выплату выражать не надо.
2029 год.
На остаток долга (S-2x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится третья выплата В3. При этом сумма долга (S-2x) уменьшается на x.
Третью выплату выражать не надо.
Если заметили закономерность в формулах, то можно сразу перейти к 2031 году. Я всё же распишу 2030 год на всякий случай.
2030 год.
На остаток долга (S-3x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится четвертая выплата В4. При этом сумма долга (S-3x) уменьшается на x.
Четвертую выплату выражать не надо.
2031 год.
На остаток долга (S-4x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится пятая выплата В5. При этом сумма долга (S-4x) уменьшается на x.
Выразим В5 и подставим имеющиеся величины в формулу.
Первые 5 лет прошли. Начинаются следующие 5 лет.
2032 год.
На остаток долга (S-5x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится шестая выплата В6. При этом сумма долга (S-5x) уменьшается на y.
Выразим В6 и подставим имеющиеся величины в формулу.
2033 год.
На остаток долга (S-5x-y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится седьмая выплата В7. При этом сумма долга (S-5x-y) уменьшается на y.
Седьмую выплату выражать не надо.
2034 год.
На остаток долга (S-5x-2y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится восьмая выплата В8. При этом сумма долга (S-5x-2y) уменьшается на y.
Восьмую выплату выражать не надо.
Увидели закономерность? Переходите сразу к 2036 году. Не увидели? Продолжаем расписывать.
2035 год.
На остаток долга (S-5x-3y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится девятая выплата В9. При этом сумма долга (S-5x-3y) уменьшается на y.
Девятую выплату выражать не надо.
2036 год.
На остаток долга (S-5x-4y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится десятая выплата В10 и долг наконец-то погашен и равен 0.
Подставляем известные величины и выражаем В10.
Кстати говоря, из равенства следует, что
Общая сумма выплат, равная 2780 тыс. рублей, - это все платежи за 10 лет. Просуммируем все десять выплат. Т.к. сумма долга, а значит, и выплаты, уменьшаются равномерно, то мы имеем дело с арифметической прогрессией. Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии для первых пяти лет и для вторых пяти:
Решим уравнение:
Т.к. , то
Сделаем замену и получим уравнение относительно одного неизвестного.
Подставим найденный х в формулу для нахождения выплаты за 2027 год (В1):
Ответ: 380 000 рублей.
Попробуй решить самостоятельно
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1250 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2035 году?
52 000 рублей.
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1400 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2120 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?
300 000 рублей.
Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!