В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:- каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;- в июле 2030 года долг должен составить 500 тыс. рублей;- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2080 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году? Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

687

08 января 2026

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- в июле 2030 года долг должен составить 500 тыс. рублей;

- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2080 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

Решение задачи

Дано:

S - сумма кредита

n = 10 лет - срок кредитования

a = 30% - проценты, которые начисляются на сумму долга

m = 1 + a/100 = 1,3 - полезный коэффициент, позволяющий сразу вычислить чему равен долг после начисления процентов

Долг в 2030 году = 500 тыс. рублей

x - уменьшение долга в 2026-2030 г.г.

y - уменьшение долга в 2031-2035 г.г.

В_n - выплаты

В₁ + ... + В₁₀ = 2080 тыс. рублей

Найти: В₁.

Решение:

1 год (2026).

На сумму долга S начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится первая выплата В₁. Долг уменьшается на x тыс. рублей.

$S m - B_{1} = S - x .$

Выразим первую выплату:

$B_{1} = S m - S + x .$

2 год (2027).

На сумму долга (S-х) начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится вторая выплата В₂. Долг уменьшается на х тыс. рублей.

$(S - х) m - B_{2} = S - 2 x .$

Если понятна закономерность изменения формул, то сразу выражаем 2030-й год, если нет, то расписываем по образцу 2028 и 2029 года.

5 год (2030).

На сумму долга (S-4х) начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится пятая выплата В₅. Долг уменьшается на х тыс. рублей.

$(S - 4 х) m - B_{5} = S - 5 x = 500 .$

Выразим пятую выплату:

$B_{5} = (S - 4 х) m - 500 .$

Здесь же из формулы, выделенной жирным, выразим S:

$S = 500 + 5 х .$

6 год (2031).

На сумму долга 500 тыс. рублей начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится шестая выплата В₆. Долг уменьшается на у тыс. рублей.

$500 m - B_{6} = 500 - y .$

Выразим шестую выплату:

$B_{6} = 500 m - 500 + y .$

7 год (2032).

На сумму долга (500-у) начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится седьмая выплата В₇. Долг уменьшается на у тыс. рублей.

$(500 - y) m - B_{7} = 500 - 2 y .$

Cразу выражаем 2035-й год.

10 год (2035).

На сумму долга (500-4у) начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится десятая выплата В₁₀. Долг погашен.

$(500 - 4 y) m - B_{10} = 0 .$

Выразим десятую выплату:

$B_{10} = (500 - 4 y) m .$

Первые пять выплат образуют арифметическую прогрессию, т.к. долг уменьшается на одну и ту же величину, вторые пять лет - тоже. Значит, сложить выплаты можно по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n .$

$В_{1} + . . . + В_{5} + В_{6} + . . . + В_{10} = \frac{В_{1} + В_{5}}{2} \cdot 5 + \frac{В_{6} + В_{10}}{2} \cdot 5 = = \frac{S m - S + x + (S - 4 x) m - 500}{2} \cdot 5 + \frac{500 m - 500 + y + (500 - 4 y) m}{2} \cdot 5 = = \frac{5}{2} \cdot (S m - S + x + S m - 4 x m - 500 + 500 m - 500 + y + 500 m - 4 y m) = = \frac{5}{2} \cdot (2 S m - S + x - 4 x m - 1000 + 1000 m + y - 4 y m) .$

Подставим $m = 1, 3$ и $S = 500 + 5 х .$

$\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot (500 + 5 х) \cdot 1, 3 - (500 + 5 х) + x - 4 x \cdot 1, 3 - 1000 + 1000 \cdot 1, 3 + y - 4 y \cdot 1, 3) = = \frac{5}{2} (1300 + 13 х - 500 - 5 x + x - 5, 2 x + 300 - 4, 2 y) = = \frac{5}{2} (1100 + 3, 8 x - 4, 2 y) = 2750 + 9, 5 x - 10, 5 y .$

Общая сумма выплат равна 2080 тыс. рублей, т.е.

$2750 + 9, 5 x - 10, 5 y = 2080 .$

Возникает проблема: два неизвестных. Вспоминаем, что долг уменьшался 5 раз на х тыс. рублей и 5 раз на у тыс. рублей, т.е.

5х + 5у = S или 5х + 5у = 500 + 5x (S было выражено в 2030 году). Разделим обе части последнего равенства на 5 и получим

х + у = 100 + x. Отсюда, y = 100 тыс. рублей.

Возвращаемся в общую сумму выплат.

$2750 + 9, 5 x - 10, 5 \cdot 100 = 2080; 9, 5 x = 380; x = 40 тыс . руб .$

Для нахождения выплаты за 2026 (первой по счету), надо найти еще сумму кредита:

$S = 500 + 5 х = 500 + 5 \cdot 40 = 700 тыс . руб .$

Найдем выплату за 2026 год:

$B_{1} = 700 \cdot 1, 3 - 700 + 40 = 250 тыс . рублей .$

Ответ: 250 000 рублей.

P.S. Возможно, было бы проще в выплаты подставлять хотя бы известное число m.

Попробуй решить самостоятельно

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

- в июле 2030 года долг должен составить 800 тыс. рублей;

- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2090 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

Ответ:

230 000 рублей.

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам