Решите неравенство 4x-2x+3+74x-5&#183;2x+4&#8804;2x-92x-4+12x-6. Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

1654

24 января 2026

Решите неравенство $\frac{4^{x} - 2^{x + 3} + 7}{4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4} \leq \frac{2^{x} - 9}{2^{x} - 4} + \frac{1}{2^{x} - 6} .$

Решение задачи

По свойству степеней $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$ разложим на множители $2^{x + 3} .$

$\frac{4^{x} - 2^{x} \cdot 2^{3} + 7}{4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4} \leq \frac{2^{x} - 9}{2^{x} - 4} + \frac{1}{2^{x} - 6} .$

Сделаем замену. Пусть 2^х=t, тогда уравнение примет вид:

$\frac{t^{2} - 8 t + 7}{t^{2} - 5 t + 4} \leq \frac{t - 9}{t - 4} + \frac{1}{t - 6} .$

Квадратный трехчлен t²-5t+4 необходимо разложить на множители, чтобы в дальнейшем определится с общим знаменателем.

Решим квадратное уравнение $t^{2} - 5 t + 4 = 0 .$ По теореме Виета $t_{1} = 4; t_{2} = 1 .$

По формуле разложения квадратного трехчлена на множители получаем, что $t^{2} - 5 t + 4 = (t - 4) (t - 1) .$

Возвращаемся в неравенство:

$\frac{t^{2} - 8 t + 7}{(t - 4) (t - 1)} \leq \frac{t - 9}{t - 4} + \frac{1}{t - 6} .$

Общим знаменателем будет произведение (t-4)(t-1)(t-6). Домножим первую дробь на (t-6), вторую - на (t-1)(t-6), а третью - на (t-4)(t-1).

$\frac{(t^{2} - 8 t + 7) (t - 6)}{(t - 4) (t - 1) (t - 6)} \leq \frac{(t - 9) (t - 1) (t - 6) + 1 (t - 4) (t - 1)}{(t - 4) (t - 1) (t - 6)} .$

Обязательно надо сделать оговорку, что $t \neq 1, t \neq 4, t \neq 6 .$

В числителях раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$\frac{t^{3} - 8 t^{2} + 7 t - 6 t^{2} + 48 t - 42}{(t - 4) (t - 1) (t - 6)} \leq \frac{(t^{2} - t - 9 t + 9) (t - 6) + t^{2} - t - 4 t + 4}{(t - 4) (t - 1) (t - 6)}; \frac{t^{3} - 14 t^{2} + 55 t - 42}{(t - 4) (t - 1) (t - 6)} \leq \frac{t^{3} - 10 t^{2} + 9 t - 6 t^{2} + 60 t - 54 + t^{2} - 5 t + 4}{(t - 4) (t - 1) (t - 6)}; \frac{t^{3} - 14 t^{2} + 55 t - 42}{(t - 4) (t - 1) (t - 6)} \leq \frac{t^{3} - 15 t^{2} + 64 t - 50}{(t - 4) (t - 1) (t - 6)} .$

Перенесём вторую дробь в левую часть неравенства, также приведем подобные слагаемые и разложим числитель на множители.

$\frac{t^{3} - 14 t^{2} + 55 t - 42 - t^{3} + 15 t^{2} - 64 t + 50}{(t - 4) (t - 1) (t - 6)} \leq 0; \frac{t^{2} - 9 t + 8}{(t - 4) (t - 1) (t - 6)} \leq 0 .$

Разложим квадратный трехчлен t²-9t+8 на множители. Корнями квадратного уравнения $t^{2} - 9 t + 8 = 0$ по теореме Виета будут $t_{1} = 8; t_{2} = 1 .$

$\frac{(t - 8) (t - 1)}{(t - 4) (t - 1) (t - 6)} \leq 0 .$

Сократим дробь на (t-1).

$\frac{(t - 8)}{(t - 4) (t - 6)} \leq 0 .$

На числовой прямой отметим числа, при которых все множители равны 0. Точка с координатой 8 будет закрашена, т.к. она находится в числителе, точки с координатами 4 и 6 будут выколотыми, т.к. знаменатель не должен равняться 0. Также не забываем про точку с координатой 1: её тоже надо выколоть, т.к. она ранее находилась в знаменателе.

Определим знаки промежутков. Для этого берем число из самого правого промежутка, например 10, и подставляем его в неравенство. Определяем знак результата. При подстановке получаем, что все три скобки будут положительными, значит, вся дробь будет положительной. Ставим знак "+". Остальные знаки будут чередоваться, т.к. нет повторяющихся скобок.

Знак неравенства ≤, выбираем промежутки с минусами.

Запишем получившиеся неравенства для t:

$t < 1 1 < t < 4 6 < t \leq 8$

Сделаем обратную замену и решим неравенства:

$2^{х} < 1 1 < 2^{х} < 4 6 < 2^{х} \leq 8 2^{х} < 2^{0} 2^{0} < 2^{х} < 2^{2} 2^{\log_{2} 6} < 2^{х} \leq 2^{3} x < 0 0 < x < 2 \log_{2} 6 < x \leq 3$

Ответ: (-∞; 0) ∪ (0; 2) ∪ (log₂6; 3].

Попробуй решить самостоятельно

Решите неравенство $\frac{9^{x} - 10 \cdot 3^{x} + 9}{9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3} \leq \frac{3^{x} - 11}{3^{x} - 3} + \frac{1}{3^{x} - 5} .$

Ответ:

(-∞; 0) ∪ (0; 1) ∪ (log₃5; log₃7].

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам