Решите неравенство 2log2(x5)-log2x1-x&#8804;log25x2+1x-2. Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

303

19 мая 2026

Решите неравенство $2 \log_{2} (x \sqrt{5}) - \log_{2} (\frac{x}{1 - x}) \leq \log_{2} (5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2) .$

Решение задачи

Число 2 перед первым логарифмом отправим в степень подлогарифмического выражения по свойству $n \cdot \log_{a} b = \log_{a} b^{n} .$

$\log_{2} {(x \sqrt{5})}^{2} - \log_{2} (\frac{x}{1 - x}) \leq \log_{2} (5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2); \log_{2} (5 x^{2}) - \log_{2} (\frac{x}{1 - x}) \leq \log_{2} (5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2) .$

При условии, что $5 x^{2} > 0$ и $\frac{x}{1 - x} > 0, x \neq 1,$ используем свойство логарифмов $\log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c}$ и перезапишем неравенство:

$\log_{2} (5 x^{2} : \frac{x}{1 - x}) \leq \log_{2} (5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2); \log_{2} (5 x^{2} \cdot \frac{1 - x}{x}) \leq \log_{2} (5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2); \log_{2} (5 x (1 - x)) \leq \log_{2} (5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2) .$

Т.к. основание логарифма больше 1, то неравенство равносильно следующей системе:

$\{\begin{cases} 5 x (1 - x) \leq 5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2 (1) \\ 5 x (1 - x) > 0 (2) \end{cases}$

Второе неравенство уже разложено на множители и делать с ним ничего не надо. Поэтому работаем только с первым.

1) Приведем первое неравенство к общему знаменателю х≠0.

$5 x - 5 х^{2} \leq 5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2; \frac{5 x^{2} - 5 x^{3} - 5 x^{3} - 1 + 2 x}{x} \leq 0; \frac{- 10 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 1}{x} \leq 0 .$

Воспользуемся методом группировки для разложения числителя на множители.

$\frac{- 5 x^{2} (2 x - 1) + (2 x - 1)}{x} \leq 0; \frac{(- 5 x^{2} + 1) (2 x - 1)}{x} \leq 0 .$

Первая скобка - это формула сокращенного умножения "Разность квадратов": $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) .$ Вторая скобка раскладывается на множители путём вынесения общего множителя 2 за скобки. Перезапишем неравенство.

$\frac{(1 - x \sqrt{5}) (1 + x \sqrt{5}) \cdot 2 (x - 0, 5)}{x} \leq 0 .$

Из первых двух скобок вынесем за скобки √5.

$\frac{\sqrt{5} (\frac{1}{\sqrt{5}} - x) \cdot \sqrt{5} (\frac{1}{\sqrt{5}} + x) \cdot 2 (x - 0, 5)}{x} \leq 0; \frac{10 (\frac{1}{\sqrt{5}} - x) (\frac{1}{\sqrt{5}} + x) (x - 0, 5)}{x} \leq 0 .$

Первое неравенство разложено на множители. При желании его можно разделить на 10, но в данном случае это необязательно.

2) Возвращаемся в систему.

$\{\begin{cases} \frac{10 (\frac{1}{\sqrt{5}} - x) (\frac{1}{\sqrt{5}} + x) (x - 0, 5)}{x} \leq 0; \\ 5 x (1 - x) > 0 . \end{cases}$

На первой числовой прямой отметим точки 1/√5, -1/√5, 0,5 и 0 (все точки, кроме 0, будут закрашенные, т.к. знак неравенства нестрогий), а на второй числовой прямой - точки 0 и 1 (обе точки выколотые, т.к. знак неравенства >). Определим знаки промежутков и выберем общие.

Ответ: $(0; \frac{1}{\sqrt{5}}] \cup [0, 5; 1) .$

Число $\frac{1}{\sqrt{5}}$ также можно записать как $\frac{\sqrt{5}}{5} .$

Попробуй решить самостоятельно

Решите неравенство $2 \log_{7} (x \sqrt{2}) - \log_{7} (\frac{x}{1 - x}) \leq \log_{7} (8 x^{2} + \frac{1}{x} - 5) .$

Ответ:

$(0; 0, 2] \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}; 1) .$

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Мы Вас предупредили!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам