Решения задач
Материалы для печати
Презентации
Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a : b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a : b.
Решение задачи
Проведем радиусы РА и QB в точки касания. Т.к. радиусы будут перпендикулярны касательной, то треугольники РАО и BOQ – прямоугольные.

Рассмотрим треугольники РАО и BOQ:
∠PAO = ∠OBQ = 90°, угол ∠РОА = ∠BOQ – вертикальные. Значит, треугольники РАО и BOQ подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность их сходственных сторон, т.е.
Пусть d1 – диаметр окружности с центром Р, d2 – диаметр окружности с центром Q. Т.к. диаметр в два раза больше радиуса, то
Что и требовалось доказать.
Попробуй решить самостоятельно
Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m : n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m : n.
не предусмотрен, т.к. задача на доказательство.
Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!