На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=1:2, на ребре BB1 - точка F так, что B1F:FB=1:5, а точка Т — середина ребра B1C1. Известно, что AB=2, AD=6, AA1=6.а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1. Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

2784

22 августа 2025

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E:EA=1:2, на ребре BB₁ - точка F так, что B₁F:FB=1:5, а точка Т — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB=2, AD=6, AA₁=6.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA₁B₁.

Решение задачи

Т.к. A₁E : EA = 1 : 2 и АА₁ = 6, то A₁E = 2 и EA = 4.

Т.к. B₁F : FB = 1 : 5 и ВВ₁ = 6, то B₁F = 1 и FB = 5.

Т.к. Т - середина В₁С₁ и В₁С₁ = AD = 6, то В₁Т = 3.

Построение сечения.

1) Соединим точки T и F, F и Е (они попарно лежат в одних плоскостях).

2) Через точку Е проведем прямую, параллельную FT. Она пересечет C₁D₁ в точку Х.

3) Соединим точки Т и Х.

4) Четырехугольник TFEX - искомое сечение.

а) Докажем, что точка Х совпадает с точкой D₁.

Треугольники EA₁X и FB₁T подобны по двум углам (∠D₁A₁E=∠TB₁F=90°, ∠A₁ED₁=∠B₁FT, т.к. образованы параллельными прямыми на противоположных гранях параллелепипеда).

Из подобия треугольников следует:

$\frac{A_{1} E}{B_{1} F} = \frac{A_{1} X}{B_{1} T} \Rightarrow \frac{2}{1} = \frac{A_{1} X}{3} \Rightarrow A_{1} X = 6 .$

Т.к. А₁D₁ = 6, то точки D₁ и Х совпадают, и плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдем угол между плоскостью EFT и плоскостью AA₁B₁.

Плоскости пересекаются по прямой EF. К этой прямой необходимо провести два перпендикуляра: один должен лежать в плоскости EFT, второй - в плоскости AA₁B₁.

Проведем А₁Н ⊥ EF. Проведем D₁H.

D₁H ⊥ EF по теореме о трех перпендикулярах, т.к. А₁D₁ ⊥ (AA₁B₁) и АН ⊥ EF, D₁H - проекция А₁Н на (AA₁B₁).

∠А₁HD₁ - искомый.

Проведем ЕЕ₁ || АВ. Рассмотрим прямоугольник, а он же квадрат, А₁EE₁B₁.

Т.к. A₁E = В₁Е₁=2 и B₁F = 1, то F - середина В₁Е₁.

Найдем площадь квадрата:

$S_{А_{1} E E_{1} B_{1}} = 2 \cdot 2 = 4 .$

Найдем площади треугольников EE₁F и A₁B₁F:

$S_{E E_{1} F} = S_{A_{1} B_{1} F} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1 .$

Найдем площадь треугольника A₁EF:

$S_{A_{1} E F} = S_{A_{1} E E_{1} B_{1}} - S_{E E_{1} F} - S_{A_{1} B_{1} F} = 4 - 1 - 1 = 2 .$

Выразим площадь треугольника A₁EF через высоту и основание:

$S_{A_{1} E F} = \frac{1}{2} \cdot A_{1} H \cdot E F .$

Найдем EF по теореме Пифагора: $E F = \sqrt{E E_{1}^{2} + E_{1} F^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5} .$

$S_{A_{1} E F} = \frac{1}{2} \cdot A_{1} H \cdot \sqrt{5} = 2; A_{1} H = \frac{2}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} .$

Рассмотрим треугольник А₁HD₁.

По теореме Пифагора: $D_{1} H = \sqrt{6^{2} + {(\frac{4}{\sqrt{5}})}^{2}} = \sqrt{36 + \frac{16}{5}} = \sqrt{\frac{196}{5}} = \frac{14}{\sqrt{5}} = \frac{14 \sqrt{5}}{5} .$

По определению синуса:

$\sin А_{1} H D_{1} = \frac{A_{1} D_{1}}{D_{1} H} = 6 : \frac{14 \sqrt{5}}{5} = \frac{3 \sqrt{5}}{7}; ∠ А_{1} H D_{1} = \arcsin \frac{3 \sqrt{5}}{7} .$

Ответ: $∠ А_{1} H D_{1} = \arcsin \frac{3 \sqrt{5}}{7} .$

Ответы можно записать через косинус или синус:

$\cos А_{1} H D_{1} = \frac{A_{1} H}{D_{1} H} = \frac{4}{\sqrt{5}} : \frac{14 \sqrt{5}}{5} = \frac{2}{7}; ∠ А_{1} H D_{1} = arc \cos \frac{2}{7} .$

ИЛИ

$tg А_{1} H D_{1} = \frac{A_{1} D_{1}}{A_{1} H} = 6 : \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{2}; ∠ А_{1} H D_{1} = arctg \frac{3 \sqrt{5}}{2} .$

Попробуй решить самостоятельно

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E:EA=2:3, на ребре BB₁ - точка F так, что B₁F:FB=1:4, а точка Т — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB=3, AD=4, AA₁=10.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

Ответ:

$a r c \cos \sqrt{\frac{2}{11}} .$

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам