Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через вершины B1 и D и пересекает рёбра AA1 и CC1 в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB1KD – ромб.&nbsp;а) Докажите, что точка M – середина ребра AA1.&nbsp;б) Найдите высоту призмы ABCDA1B1C1D1, если площадь её основания ABCD равна 3, а площадь ромба MB1KD равна 6. Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

112

03 июня 2026

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Плоскость α проходит через вершины B₁ и D и пересекает рёбра AA₁ и CC₁ в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB₁KD – ромб.

а) Докажите, что точка M – середина ребра AA₁.

б) Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если площадь её основания ABCD равна 3, а площадь ромба MB₁KD равна 6.

Решение задачи

Правильная четырехугольная призма - это параллелепипед, в основании которого лежит квадрат, а гранями являются прямоугольники.

а) Докажем, что точка M – середина ребра AA₁.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AMD и A₁MB₁: MD = MB₁ (т.к. MB₁KD – ромб) и AD = A₁B₁ (стороны одинаковых квадратов). Значит, ∆AMD = ∆A₁MB₁ по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует, что АМ = А₁М и точка М - середина АА₁.

б) Найдем высоту ВВ₁ призмы.

Т.к. площадь основания АВСD равно 3, то AB=BC=CD=AD=√3 (квадрат). По теореме Пифагора найдем АС.

$A C = \sqrt{A D^{2} + D C^{2}} = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{2}} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6} .$

Точки М и К - середины сторон АА₁ и СС₁. Отрезки MK и AC параллельны и заключены между параллельными прямыми, значит, MK = AC = √6.

Площадь ромба находится по формуле $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} .$ Если площадь ромба MB₁KD равна 6, то

$\frac{1}{2} \cdot M K \cdot B_{1} D = 6; \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot B_{1} D = 6; B_{1} D = \frac{12}{\sqrt{6}} = 2 \sqrt{6} .$

Диагональ ромба B₁D также является диагональю параллелепипеда. Её можно выразить через формулу $B_{1} D^{2} = A D^{2} + C D^{2} + A A_{1}^{2} .$

При этом $A D^{2} + C D^{2} = A C^{2},$ а $А А_{1} = B B_{1} .$ То есть $B_{1} D^{2} = A C^{2} + B B_{1}^{2} .$

Найдем отсюда ВВ₁:

${(2 \sqrt{6})}^{2} = {\sqrt{6}}^{2} + B B_{1}^{2}; B B_{1}^{2} = 24 - 6 = 18; B B_{1} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} .$

Ответ: б) 3√2.

Попробуй решить самостоятельно

а) Докажите, что точка M – середина ребра AA₁.

б) Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если площадь её основания ABCD равна 4, а площадь ромба MB₁KD равна 4√2.

Ответ:

б) 2√2.

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Мы Вас предупредили!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам