а) Решите уравнение sin2x&#183;sin4x+cos4x&#183;cos2&#960;3=sin2x-3&#960;2.&nbsp;б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -7&#960;2;&#160;-5&#960;2. Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

26 октября 2025

а) Решите уравнение $\sin 2 x \cdot \sin 4 x + \cos 4 x \cdot \cos \frac{2 π}{3} = \sin (2 x - \frac{3 π}{2}) .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- \frac{7 π}{2}; - \frac{5 π}{2}] .$

Решение задачи

Для решения этого уравнения пригодятся следующие формулы:

1. Синус двойного угла: $\sin 4 x = 2 \sin 2 x \cdot \cos 2 x .$

2. Косинус двойного угла: $\cos 4 x = 1 - 2 \sin^{2} 2 x .$

3. Синус отрицательного угла: $\sin (- α) = - \sin α .$

В нашем случае: $\sin (2 x - \frac{3 π}{2}) = - \sin (\frac{3 π}{2} - 2 x) .$

4. Формула приведения: $\sin (\frac{3 π}{2} - α) = - \cos α .$

В нашем случае: $- \sin (\frac{3 π}{2} - 2 x) = - (- \cos 2 x) = \cos 2 x .$

5*. Если невозможно вспомнить формулу приведения, то можно воспользоваться формулой синуса суммы двух углов: $\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β .$

$\sin (2 x - \frac{3 π}{2}) = \sin 2 x \cdot \cos (- \frac{3 π}{2}) + \cos 2 x \cdot \sin (- \frac{3 π}{2}) = = \sin 2 x \cdot 0 + \cos 2 x \cdot 1 = \cos 2 x .$

Как видим, и формула приведения, и формула суммы дают одинаковые результаты. Приступим к решению уравнения.

а) $\sin 2 x \cdot \sin 4 x + \cos 4 x \cdot c o s \frac{2 π}{3} = \sin (2 x - \frac{3 π}{2}) .$

Заменяем sin4x, cos4x и sin(2x-3π/2) выражениями полученными выше. К тому же, мы можем найти значениt cos(2π/3).

$\sin 2 x \cdot 2 \sin 2 x \cdot \cos 2 x + (1 - 2 \sin^{2} 2 x) \cdot (- \frac{1}{2}) = \cos 2 x .$

Раскроем скобки, перенесем cos2x влево с противоположным знаком:

$2 \sin^{2} 2 x \cdot \cos 2 x - \frac{1}{2} + \sin^{2} 2 x - \cos 2 x = 0 .$

Воспользуемся методом группировки. Вынесем общий множитель sin²2x за скобки в первом и третьем слагаемых, и "невидимую" отрицательную единицу - во втором и четвертом:

$\sin^{2} 2 x (2 \cos 2 x + 1) - (\frac{1}{2} + \cos 2 x) = 0 .$

Чтобы скобки получились одинаковыми, вынесем общий множитель 1/2 из вторых скобок:

$\sin^{2} 2 x (2 \cos 2 x + 1) - \frac{1}{2} (1 + 2 \cos 2 x) = 0 .$

Теперь одинаковые скобки мы можем вынести за скобки:

$(2 \cos 2 x + 1) (\sin^{2} 2 x - \frac{1}{2}) = 0 .$

Произведение равно 0, если один из множителей равен 0, т.е.:

$2 \cos 2 x + 1 = 0 или \sin^{2} 2 x - \frac{1}{2} = 0$

Решим эти уравнения.

$2 \cos 2 x = - 1 \sin^{2} 2 x = \frac{1}{2} \cos 2 x = - \frac{1}{2} \sin 2 x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} 2 x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 π n, n \in ℤ 2 x = \pm \frac{π}{4} + 2 π k, k \in ℤ 2 x = \pm \frac{3 π}{4} + 2 π m, m \in ℤ x = \pm \frac{π}{3} + π n, n \in ℤ x = \pm \frac{π}{8} + π k, k \in ℤ x = \pm \frac{3 π}{8} + π m, m \in ℤ$

б) На тригонометрической окружности отберем корни из промежутка $[- \frac{7 π}{2}; - \frac{5 π}{2}] .$

Отметим на окружности все имеющиеся корни. Их в общей сложности 12. В промежуток попадают только 6.

Вычислим их. Для этого используем "ключевую" точку -3π и от нее будем производить отсчет. Если мы движемся по часовой стрелке, то углы будут вычитаться из -3π, а если против часовой, то складываться с -3π.

$- 3 π - \frac{π}{8} = - \frac{24 π}{8} - \frac{π}{8} = - \frac{25 π}{8}; - 3 π - \frac{π}{3} = - \frac{9 π}{3} - \frac{π}{3} = - \frac{10 π}{3}; - 3 π - \frac{3 π}{8} = - \frac{24 π}{8} - \frac{3 π}{8} = - \frac{27 π}{8}; - 3 π + \frac{π}{8} = - \frac{24 π}{8} + \frac{π}{8} = - \frac{23 π}{8}; - 3 π + \frac{π}{3} = - \frac{9 π}{3} + \frac{π}{3} = - \frac{8 π}{3}; - 3 π + \frac{3 π}{8} = - \frac{24 π}{8} + \frac{3 π}{8} = - \frac{21 π}{8} .$

Ответ: $а) \pm \frac{π}{3} + π n, n \in ℤ; \pm \frac{π}{8} + π k, k \in ℤ; \pm \frac{3 π}{8} + π m, m \in ℤ;$

$б) - \frac{25 π}{8}; - \frac{10 π}{3}; - \frac{27 π}{8}; - \frac{23 π}{8}; - \frac{8 π}{3}; - \frac{21 π}{8} .$

Попробуй решить самостоятельно

а) Решите уравнение $\cos 2 x \cdot \sin 4 x - \cos 4 x \cdot \sin \frac{5 π}{6} = \cos (2 x - \frac{π}{2}) .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 3 π; - 2 π] .$

Ответ:

$а) \pm \frac{π}{4} + π n, n \in ℤ; \pm \frac{3 π}{4} + π k, k \in ℤ; \frac{π}{12} + π m, m \in ℤ; \frac{5 π}{12} + π l, l \in ℤ;$

$б) - \frac{17 π}{8}; - \frac{19 π}{8}; - \frac{31 π}{12}; - \frac{21 π}{8}; - \frac{23 π}{8}; - \frac{35 π}{12} .$

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Мы Вас предупредили!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дискриминант, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Равные платежи, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Средняя линия, Средняя скорость, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам