а) Решите уравнение 1+sin2x=sinx+cosx.б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку -6&#960;;&#160;-2&#960;. Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

422

22 марта 2026

а) Решите уравнение $1 + \sin 2 x = \sin x + \cos x .$

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку $(- 6 π; - 2 π) .$

Решение задачи

а) Заменим единицу через основное тригонометрическое тождество $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ и разложим синус двойного угла по формуле $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x .$

Тогда уравнение примет вид:

$\sin^{2} x + \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x = \sin x + \cos x .$

В левой части неравенства замечаем формулу сокращенного умножения "Квадрат суммы": $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2} .$ Соберем её.

${(\sin x + \cos x)}^{2} = \sin x + \cos x .$

Перенесем всё в левую часть:

${(\sin x + \cos x)}^{2} - (\sin x + \cos x) = 0 .$

Вынесем общий множитель за скобку:

$(\sin x + \cos x) (\sin x + \cos x - 1) = 0 .$

Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0. Решим два уравнения.

$\sin x + \cos x = 0 (1) \sin x + \cos x - 1 = 0 (2)$

Решим первое уравнение (1).

$\sin x + \cos x = 0; \sin x = - \cos x / : \cos x \neq 0 t g x = - 1; x = - \frac{π}{4} + π n, n \in ℤ .$

Решим второе уравнение (2).

$\sin x + \cos x - 1 = 0; \sin x + \cos x = 1 .$

Воспользуемся методом вспомогательного угла. Для этого разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^{2} + b^{2}},$ где $a$ и $b$ - коэффициенты перед синусом и косинусом.

В нашем уравнении числа $a$ и $b$ равны 1. Значит, $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} .$

$1 \cdot \sin x + 1 \cdot \cos x = 1 / : \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2} .$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Зная, что $\sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},$ перепишем уравнение:

$\cos \frac{π}{4} \cdot \sin x + \sin \frac{π}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

"Схлопнем" левую часть уравнения по формуле $\sin (α + β) = \sin α \cos β + \sin β \cos α$ и, наконец, найдем x:

$\sin (\frac{π}{4} + x) = \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{π}{4} + x = \frac{π}{4} + 2 π k, k \in ℤ и \frac{π}{4} + x = \frac{3 π}{4} + 2 π m, m \in ℤ$

Из обеих частей этих двух уравнений вычтем $\frac{π}{4} :$

$x = 2 π k, k \in ℤ и x = \frac{π}{2} + 2 π m, m \in ℤ$

Все выделенные бордовым корни идут в ответ под буквой а).

б) На тригонометрической окружности отберем корни из промежутка $(- 6 π; - 2 π) .$

Поскольку здесь промежуток на окружности будет накладываться на себя дважды, то разделим его на две части: на $(- 6 π; - 4 π]$ и $[- 4 π; - 2 π) .$

Корни, не требующие особых расчетов: $- 4 π; - \frac{7 π}{2}; - \frac{11 π}{2} .$

Вычислим корни, соответствующие точке $- \frac{π}{4} .$ Для этого из ключевых точек $- 2 π$ и $- 4 π$ вычтем $\frac{π}{4},$ т.к. от них мы двигаемся по часовой стрелке.

$- 2 π - \frac{π}{4} = - \frac{9 π}{4}; - 4 π - \frac{π}{4} = - \frac{17 π}{4} .$

Вычислим корни, соответствующие точке $\frac{3 π}{4} .$ Для этого из ключевых точек $- 3 π$ и $- 5 π$ также вычтем $\frac{π}{4} .$

$- 3 π - \frac{π}{4} = - \frac{13 π}{4}; - 5 π - \frac{π}{4} = - \frac{21 π}{4} .$

Все выделенные синим корни идут в ответ под буквой б).

Ответ: $а) - \frac{π}{4} + π n, n \in ℤ; 2 π k, k \in ℤ; \frac{π}{2} + 2 π m, m \in ℤ;$

$б) - \frac{11 π}{2}; - \frac{21 π}{4}; - \frac{17 π}{4}; - 4 π; - \frac{7 π}{2}; - \frac{13 π}{4}; - \frac{9 π}{4} .$

Попробуй решить самостоятельно

а) Решите уравнение $\sin x - \cos x = 1 + 2 \sin x \cos x .$

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку $(- 7 π; - 3 π) .$

Ответ:

$а) \frac{π}{2} + 2 π n, n \in ℤ, π + 2 π k, k \in ℤ; б) - \frac{11 π}{2}; - 5 π; - \frac{7 π}{2} .$

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам