15 января планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн 600 тыс. рублей на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:- 1-го числа каждого месяца из первых шести месяцев действия кредита долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;- 1-го числа каждого месяца из последних шести месяцев действия кредита долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 4 млн 153,5 тысячи рублей. Найдите r. Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

774

06 ноября 2025

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн 600 тыс. рублей на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца из первых шести месяцев действия кредита долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- 1-го числа каждого месяца из последних шести месяцев действия кредита долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 4 млн 153,5 тысячи рублей. Найдите r.

Решение задачи

Дано (расшифровку в задаче писать не нужно):

S = 3600 тыс. - сумма, которая берется в кредит

n = 12 мес. - срок кредитования

r% - проценты, которые начисляются на сумму долга в первые шесть месяцев

m₁ = 1 + r/100 - полезный коэффициент, позволяющий сразу вычислить чему равен долг после начисления процентов

a = 2% - проценты, которые начисляются на сумму долга в последние шесть месяцев

m₂ = 1 + a/100 = 1 + 2/100 = 1,02 - еще один полезный коэффициент

x_n - выплаты

х₁ + ... + x₁₂ = 4153,5 тыс. - общая сумма выплат

Найти: r.

Решение:

Долг уменьшается на одну и ту же величину каждый месяц. Зная сумму кредита и количество месяцев, мы можем узнать на какую именно: 3600 : 12 = 300 тыс. рублей.

1 месяц.

На сумму долга S начисляются r%, т.е. долг увеличивается в m₁ раз, производится первая выплата х₁ и долг уменьшается на 300 тысяч. Как это записать? Вот так:

$S m_{1} - x_{1} = S - 300 .$

Выразим отсюда первую выплату и подставим все известные величины:

$x_{1} = S m_{1} - S + 300; x_{1} = 3600 m_{1} - 3600 + 300 = 3600 m_{1} - 3300 .$

2 месяц.

На сумму долга (S-300) начисляются r%, т.е. долг увеличивается в m₁ раз, производится вторая выплата х₂ и долг уменьшается на 300 тысяч.

$(S - 300) m_{1} - x_{2} = (S - 300) - 300 = S - 2 \cdot 300 .$

Вторую выплату выражать не будем. Расписали второй месяц для того, чтобы проследить закономерность изменения чисел и выразить сразу шестой месяц. Если второго месяца недостаточно, можно расписать и третий, и четвертый, и пятый.

6 месяц.

На сумму долга (S-5⋅300) начисляются r%, т.е. долг увеличивается в m₁ раз, производится шестая выплата х₆ и долг уменьшается на 300 тысяч.

$(S - 5 \cdot 300) m_{1} - x_{6} = S - 6 \cdot 300 .$

Выразим шестую выплату:

$x_{6} = (S - 5 \cdot 300) m_{1} - S + 6 \cdot 300; x_{6} = 3600 m_{1} - 1500 m_{1} - 3600 + 1800 = 2100 m_{1} - 1800 .$

7 месяц.

На сумму долга (S-6⋅300) начисляются 2%, т.е. долг увеличивается в m₂ раз, производится седьмая выплата х₇ и долг уменьшается на 300 тысяч.

$(S - 6 \cdot 300) m_{2} - x_{7} = S - 7 \cdot 300 .$

Выразим седьмую выплату:

$x_{7} = (S - 6 \cdot 300) m_{2} - S + 7 \cdot 300; x_{7} = 3600 \cdot 1, 02 - 1800 \cdot 1, 02 - 3600 + 2100 = 336 .$

12 месяц.

На сумму долга (S-11⋅300) начисляются 2%, т.е. долг увеличивается в m₂ раз, производится двенадцатая и последняя выплата х₇. Долг погашен.

$(S - 11 \cdot 300) m_{2} - x_{12} = 0 .$

Выразим двенадцатую выплату:

$x_{12} = (S - 11 \cdot 300) m_{2}; x_{12} = 3600 \cdot 1, 02 - 3300 \cdot 1, 02 = 306 .$

Для нахождения сумм всех выплат воспользуемся формулой суммы n членов арифметической прогрессии: $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n .$

Эту формулу используем отдельно для первых шести месяцев и отдельно для последних шести.

Таким образом,

$x_{1} + . . . x_{12} = \frac{x_{1} + x_{6}}{2} \cdot 6 + \frac{x_{7} + x_{12}}{2} \cdot 6 = = 3 (3600 m_{1} - 3300 + 2100 m_{1} - 1800) + 3 (336 + 306) = = 3 (5700 m_{1} - 5100) + 1926 = = 17100 m_{1} - 15300 + 1926 = = 17100 m_{1} - 13374 = 4153, 5; 17100 m_{1} = 17527, 5; m_{1} = 1, 025; 1 + \frac{r}{100} = 1, 025; \frac{r}{100} = 0, 025; r = 2, 5 % .$

Ответ: 2,5.

Попробуй решить самостоятельно

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2 млн 400 тыс. рублей на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца из первых шести месяцев действия кредита долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- 1-го числа каждого месяца из последних шести месяцев действия кредита долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 2 млн 691 тысячи рублей. Найдите r.

Ответ:

1,5.

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам