15-го декабря планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия его возврата таковы:-1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;-со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;- 15-го числа 30-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;- к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 555 тысяч рублей? Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

697

07 января 2026

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

-1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

-со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- 15-го числа 30-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

- к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 555 тысяч рублей?

Решение задачи

Дано:

S - сумма кредита

n = 31 месяц - срок кредитования

a = 2% - проценты, которые начисляются на сумму долга

m = 1 + a/100 = 1,02 - полезный коэффициент, позволяющий сразу вычислить чему равен долг после начисления процентов

x_n - выплаты

Долг за 30 месяц = 100 тыс. рублей

х₁ + х₃₁ = 555 тыс. рублей

Найти: S.

Решение:

Пусть долг уменьшается с первого по тридцатый месяц на y тысяч рублей.

1 месяц.

На сумму долга S начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится первая выплата x₁. Долг уменьшается на y тыс. рублей.

$S m - x_{1} = S - y .$

Выразим первую выплату:

$x_{1} = S m - (S - y) .$

Подставим известные величины для упрощения будущих вычислений:

$x_{1} = S \cdot 1, 02 - (S - y) = 0, 02 S + y .$

2 месяц.

На сумму долга (S-y) начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится вторая выплата x₂. Долг уменьшается на y тыс. рублей.

$(S - y) m - x_{2} = S - 2 y .$

Вторую выплату выражать не надо.

3 месяц.

Третий месяц выражаем для того, чтобы проследить закономерность в изменении формул и выразить сразу тридцатый месяц.

На сумму долга (S-2y) начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится третья выплата x₃. Долг уменьшается на y тыс. рублей.

$(S - 2 y) m - x_{3} = S - 3 y .$

30 месяц.

На сумму долга (S-29y) начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится тридцатая выплата x₃₀. Долг уменьшается на y тыс. рублей и равен 100 тыс. рублей.

$(S - 29 y) m - x_{30} = S - 30 y = 100 .$

Из этого равенства равенства выражаем тридцатую выплату (с подстановкой известного числа m) и y:

$x_{30} = (S - 29 y) m - 100 = 1, 02 S - 29, 58 y - 100; y = \frac{S - 100}{30} .$

31 месяц.

На сумму долга 100 тыс. рублей начисляются a%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится тридцать первая выплата x₃₁. Долг погашен и равен 0.

$100 m - x_{31} = 0 .$

Выразим тридцать первую выплату и подставим известные величины:

$x_{31} = 100 m = 100 \cdot 1, 02 = 102 .$

Выразим общую сумму выплат. Т.к. с 1 по 30 месяцы долг уменьшался на одно и то же число, то можно выплаты с 1-го по 30-й месяцы сложить, использую суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n .$

$x_{1} + . . . + x_{30} + x_{31} = \frac{x_{1} + x_{30}}{2} \cdot 30 + x_{31} = = \frac{0, 02 S + y + 1, 02 S - 29, 58 y - 100}{2} \cdot 30 + 102 = = 15 (1, 04 S - 28, 58 y - 100) + 102 .$

В получившееся выражение вместо y подставляем $\frac{S - 100}{30}$ и приравниваем его к 555 тысячам рублей, т.к. по условию нам это было дано.

$15 (1, 04 S - 28, 58 \cdot \frac{S - 100}{30} - 100) + 102 = 555 .$

Решим это уравнение и найдем S.

$15, 6 S - 28, 58 \cdot \frac{S - 100}{2} - 1500 + 102 = 555; 15, 6 S - 14, 29 S + 1429 - 1500 + 102 = 555; 1, 31 S = 524; S = 400 тыс . рублей .$

Ответ: 400 000 рублей.

Попробуй решить самостоятельно

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

-1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

-со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- 15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;

- к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1388 тысяч рублей?

Ответ:

1 300 000 рублей.

Показать ответ

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:

-1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

-со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 16-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- 15-го числа 16-го месяца долг составит 400 тысяч рублей;

- к 15-му числу 17-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1608 тысяч рублей?

Ответ:

1 200 000 рублей.

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам