№14. Стереометрия. Решения задач.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A1B1,B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем B1K:KC1=2:3. Четырехугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.
а) Докажите, что точка N – середина ВС.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы равен 20, а высота призмы равна 2.
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На его ребре ВВ1 отмечена точка К так, что КВ = 3. Через точки К и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что А1Р = РВ1 = 1 : 2, где Р - точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
в) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани ВВ1С1С.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1, причем СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 30°, АВ = √2, СС1 = 2.
а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 45°.
б) Найдите объем цилиндра.
в) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1.
г) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В1 и С1, причем ВВ1 - образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите объем цилиндра, если АВ = 7, ВВ1 = 24, В1С1 = 10.
в) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
г) Найдите угол между ВВ1 и АС1.
д) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1.