В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1, причем СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 30°, АВ = √2, СС1 = 2.
а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 45°.
б) Найдите объем цилиндра.
в) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1.
г) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение задачи
а) Т.к. СС1 перпендикулярно плоскости основания, то СС1 перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, т.е. СС1⊥ВС.
Проведем образующую ВВ1 перпендикулярно плоскости основания. ВВ1С1С - прямоугольник, т.к. ВВ1 || СС1, а значит, ВВ1⊥ВС. Отсюда B1C1|| BC и ∠В1С1А - искомый угол (рисунок ниже).
Т.к. АС - диаметр, то угол ∠АВС = 90° (вписанный угол, опирающийся на дугу в 180°) ⇒ ΔАВС - прямоугольный.
В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, значит, АС = 2АВ = 2√2.
По теореме Пифагора найдем ВС:
(рисунок ниже)
Пусть АА1 - образующая, тогда АА1В1В - прямоугольник с диагональю АВ1.
По теореме Пифагора найдем АВ1:
Треугольник АВ1С1 - равнобедренный, т.к. АВ1 = ВС = √6. Найдем АС1 и докажем, что треугольник АВ1С1 - прямоугольный.
Из ΔАСС1 по теореме Пифагора найдем АС1:
(рисунок ниже)
Проверим с помощью теоремы Пифагора является ли треугольник АВ1С1 прямоугольным:
Значит, АВ1С1 - прямоугольный, а также, равнобедренный, и его острые углы равны 45°, т.е. ∠В1С1А = 45°.
б) Чтобы найти объем цилиндра нужно площадь основания умножить на высоту (высота равна образующей, а радиус равен половине диаметра АС).
V = πR2h = π · (√2)2 · 2 = 4π
в) По теореме о трех перпендикулярах СС1⊥ВС, ВС⊥АВ ⇒ BC1 ⊥ АВ, значит ∠АВС1 = 90° и ΔАВС1 - прямоугольный.
Рассмотрим плоскость АВС1. Перпендикуляр ВН, проведенный к гипотенузе АС1 - искомое расстояние от точки В до прямой АС1.
Из ΔВСС1 по теореме Пифагора найдем ВС1:
Выразим площадь треугольника АВС1 двумя способами: через кататы и через основание и высоту:
Площадь треугольника не меняется от способа вычисления, поэтому
г) Для нахождения площади боковой поверхности нужно длины окружности основания умножить на высоту(длина окружности - это произведение числа пи и диаметра, высота равна образующей цилиндра).
Sбок = πdh = π · AC · CC1 = π · 2√2 · 2 = 4π√2.
Ответ: б) 4π; в) √15/3; г) 4π√2.
Прототипы задачи
Задачка:
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1, причем СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 30°, АВ = √6, СС1 = 2√3.
а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 45°.
б) Найдите объем цилиндра.
Ответ:
б) 12π√3.
Задачка:
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1, причем СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 30°, АВ = 1, СС1 = 2√2.
а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Ответ:
а) Здесь не нужно определять вид треугольника, как в образце; угол определяем по теореме косинусов.
б) 4π√2.
Задачка:
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1, причем СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 45°, АВ = 2√3, СС1 = 2√6.
а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°.