В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На его ребре ВВ1 отмечена точка К так, что КВ = 3. Через точки К и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что А1Р = РВ1 = 1 : 2, где Р - точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
в) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани ВВ1С1С.
Решение задачи
Построение сечения. 1) Точки К и С1 лежат в одной плоскости ВСС1, проведем прямую КС1.
2) Через С1 проведем прямую, параллельную прямой BD1, и продлим прямую АВ. Эти две прямые пересекутся в точке L.
3) Точки К и L лежат в одной плоскости АВВ1, проведем прямую KL. Она пересечет ребро А1В1 в точке P.
4) Точки Р и С1 лежат в плоскости А1В1С1, проведем РС1.
5) KPC1 – искомое сечение.
а) В1K = BB1 - KB = 5 - 3 = 2
BLC1D1 – параллелограмм по построению (т.к. С1L || BD1 и С1D1 || AL), следовательно C1D1 = BL = 5.
Треугольники PB1K и KBL подобны по двум углам, т.к. ∠PKB1 = ∠BKL – вертикальные и ∠BPK = ∠KLB – накрест лежащие при параллельных прямых. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, т.е.
Найдем отношение A1P и PB1:
б) Найдем объем пирамиды PKB1C1 c высотой РВ1 (РВ1 будет перпендикулярно грани ВВ1С1, т.к. ребра и грани куба перпендикулярны между собой).
Найдем объем всего куба:
Найдем объем большей части куба, находящейся под сечением:
в) Опустим перпендикуляр из точки Р∈α (α - это КРС1) к плоскости грани ВВ1С1С. Он совпадет с РВ1. Опустим перпендикуляр B1N из точки В1 к линии пересечения КС1 плоскостей . Угол В1NP - искомый угол прямоугольного треугольника PB1N.
В треугольнике КВ1С1 по теореме Пифагора
Выразим площадь треугольника КВ1С1 через катеты:
Выразим площадь треугольника КВ1С1 через основание и высоту:
От способа нахождения значение площади не меняется, поэтому
В прямоугольном треугольнике PB1N выразим тангенс угла В1NP:
А теперь найдем угол В1NP:
Прототипы задачи
Задачка:
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 6. На его ребре ВВ1 отмечена точка К так, что КВ = 5. Через точки К и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что А1Р = РВ1 = 4 : 1, где Р - точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
Ответ:
Задачка:
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 3. На его ребре ВВ1 отмечена точка К так, что КВ = 2. Через точки К и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани ВВ1С1С.
Ответ:
б) arctg√10/2.
Задачка:
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 7. На его ребре ВВ1 отмечена точка К так, что КВ = 4. Через точки К и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что А1Р = РВ1 = 1 : 3, где Р - точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
Ответ:
Задачка:
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 4. На его ребре ВВ1 отмечена точка К так, что КВ = 3. Через точки К и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что А1Р = РВ1 = 2 : 1, где Р - точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани ВВ1С1С.