В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В1 и С1, причем ВВ1 - образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) По условию образующая ВВ1 перпендикулярна основанию, значит, ВВ1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания. Плоскость ВВ1С1 содержит прямую ВВ1, перпендикулярную основанию, значит вся плоскость ВВ1С1 перпендикулярна основанию. Т.к. ВС1 лежит в плоскости ВВ1С1, то она тоже будет перпендикулярна основанию, а значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основанию, в том числе и прямой АВ. Отсюда, АВС1 - прямой.
Как записать?
ВВ1⊥(АВО) и ВВ1⊂(ВВ1С1) ⇒ С1В⊥(АВО), т.к. С1В⊂(ВВ1С1) (по признаку перпендикулярности плоскостей). Отсюда, С1В⊥АВ и ∠АВС1 - прямой.
Признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
б) Проведем образующую СС1⊥(АВО). Т.к. АС1 проходит через ось цилиндра, то АС - проекция наклонной АС1 на плоскость АВО и АС - диаметр нижнего основания.
ВВ1 = СС1 = 24 и ВВ1 || СС1 ⇒ ВВ1С1С - прямоугольник и ВС = В1С1 = 10.
Рассмотрим треугольник АВС. Угол СВА опирается на диаметр АС, значит ∠СВА = 90° и ΔАВС - прямоугольный.
По теореме Пифагора: АС2 = ВС2 + АВ2.
АС2 = 102 + 72 = 100 + 49 = 149;
АС = √149 - диаметр, R = √149/2.
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, т.e. V = πR2h.
V = π(√149/2)2 · 24 = 894π.
в) Sбок = 2πRh = 2π · √149/2 · 24= 24π√149.
г) Т.к.ВВ1 || CC1, то угол СС1В - искомый.
ΔС1СА - прямоугольный, т.к. СС1⊥(АВО).
Выразим тангенс угла СС1В.
д) Рассмотрим плоскость ВАС1. Расстоянием будет являться перпендикуляр, проведенный из точки В к прямой АС1.
ВН - высота прямоугольного треугольника ВАС1 и будет искомым расстоянием (см. рисунок ниже).
Из треугольника ВВ1С1 по теореме Пифагора:
Из треугольника АСС1 по теореме Пифагора:
Найдем площадь треугольника АВС1 через катеты:
Найдем площадь треугольника АВС1 через основание и высоту:
Площадь треугольника не меняется от способа вычислений, поэтому
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В1 и С1, причем ВВ1 - образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В1 и С1, причем ВВ1 - образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если АВ = 15, ВВ1 = 21, В1С1 = 20.
Ответ:
б) 105π√7.
Задачка:
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В1 и С1, причем ВВ1 - образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите угол между ВВ1 и АС1 если АВ = 20, ВВ1 = 15, В1С1 = 21.
Ответ:
б) arctg7/5.
Задачка:
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания - точки В1 и С1, причем ВВ1 - образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1, если АВ = 15, ВВ1 = 16, В1С1 = 12.