В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A1B1,B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем B1K:KC1=2:3. Четырехугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.
а) Докажите, что точка N – середина ВС.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы равен 20, а высота призмы равна 2.
Решение задачи
а) Т.к. B1K : KC1 = 2 : 3, то B1K = 2х, KC1 = 3x, B1C1 = BC = 5x.
Т.к. ∠MB1K = ∠ABN (основания прямой призмы одинаковы) и MK || AN (AMKN – равнобедренная трапеция), то MK и AN отсекают пропорциональные отрезки MB1 и AB, B1K и BN (теорема Фалеса).
Отсюда ∆MB1K ~ ∆ABN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон:
Если BN = 2,5x, то NC = BC - BN = 5x - 2,5x = 2,5x. Следовательно, N – середина ВС.
б) Найдем площадь параллелограмма ABCD (основания призмы).
Т.к. N – середина ВС, то SABN = 1/4SABCD = 1/4 ∙ 10 = 2,5 (Наглядно это можно увидеть на рисунке и, в принципе, доказать. Все четыре треугольника будут равны по трем сторонам)
Проведем высоты BH ⊥ AN B1H1 ⊥ MK.
Т.к. ∆MB1K ~ ∆ABN, то
Рассмотрим прямоугольную трапецию B1BHH1. Проведем в ней высоту H1L. Найдем H1H.
HH1 – высота трапеции AMKN, т.к. по теореме о трех перпендикулярах H1 L ⊥ BH, BH ⊥ AN ⇒ H1H ⊥ AN.
Найдем площадь трапеции AMKN.
Прототипы задачи
Задачка:
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A1B1,B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем B1K:KC1=1:3. Четырехугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
а) Докажите, что точка N – середина ребра ВС.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы равен 24, а высота призмы равна 3.