В октябре 2027 года Борис планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 2560 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;
- в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;
- в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же величину Q меньше долга на октябрь предыдущего года;
- в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;
- к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите величину Q, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 4168 тыс. рублей.
Решение задачи
Дано:
S = 2560 тыс. рублей – сумма, взятая в кредит
n = 7 лет – срок кредита
a = 15% - проценты
m = 1 + a/100 = 1,15 – число, показывающее во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов
Вn - выплаты
В1+…+В7 = 4168 тыс. рублей – общая сумма выплат
В6 = В7
Q – ежегодное уменьшение долга
Найти: Q.
Решение:
Первые пять лет долг и выплаты уменьшаются на одну и ту же величину. В перспективе будем пользоваться формулой первых n членов арифметической прогрессии. Это значит, что нам понадобятся первая и пятая выплаты.
2028 год.
На сумму долга S начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В1. При этом сумма кредита уменьшается на Q тыс. рублей.
Выразим первую выплату В1.
2029 год.
На сумму долга (S-Q) начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В2. Сумма кредита уменьшается на Q.
2030 год.
На сумму долга (S-2Q) начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В3. Сумма кредита уменьшается на Q.
2031 год.
На сумму долга (S-3Q) начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В4. Сумма кредита уменьшается на Q.
2032 год.
На сумму долга (S-4Q) начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В5. Сумма кредита уменьшается на Q.
Выразим первую выплату В5.
Следующие два года выплаты одинаковые. Долг уже не уменьшается на одну и ту же величину.
2033 год.
На сумму долга (S-5Q) начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В6. На сколько уменьшается сумма кредите мы не знаем.
2034 год.
На сумму долга (S-5Q)m – B6 начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В7=B6. Кредит выплачен. Выражаем В6.
Запишем общую сумму выплат.
После не очень приятных преобразований получаем дробь:
Решим это уравнение. Умножим обе части на 2,15 и выразим Q.