В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет на сумму 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028, 2029, 2030, 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2032, 2033, 2034, 2035, 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платеж в 2027 году?
Решение задачи
Дано:
S = 1300 тыс. руб - сумма, взятая в кредит
a = 20% - проценты, которые начисляются ежегодно
m = 1 + a/100 = 1,2 - полезный коэффициент, показывающий во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.
x – уменьшение долга в первые 5 лет
y – уменьшение долга во вторые 5 лет
Bn – выплаты
n = 10 лет
Найти: В1.
Решение:
2027 год. На сумму S начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится первая выплата B1. При этом сумма долга S уменьшится на х тыс. рублей. Запишем это:
Выразим B1 и подставим в выражение известные величины.
2028 год. На остаток долга (S-x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится вторая выплата В2. При этом сумма долга (S-x) уменьшается на x.
Ничего не выражаем.
2029 год. На остаток долга (S-2x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится третья выплата В3. При этом сумма долга (S-2x) уменьшается на x.
Ничего не выражаем.
Если заметили закономерность в формулах, то можно сразу перейти к 2031 году. Я всё же распишу и 2030 год.
2030 год. На остаток долга (S-3x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится четвертая выплата В4. При этом сумма долга (S-3x) уменьшается на x.
Ничего не выражаем.
2031 год. На остаток долга (S-4x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится пятая выплата В5. При этом сумма долга (S-4x) уменьшается на x.
Выразим В5 и подставим имеющиеся величины в формулу.
Первые 5 лет прошли. Начинаются следующие 5 лет.
2032 год. На остаток долга (S-5x) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится шестая выплата В6. При этом сумма долга (S-5x) уменьшается на y.
Выразим В6 и подставим имеющиеся величины в формулу.
2033 год. На остаток долга (S-5x-y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится седьмая выплата В7. При этом сумма долга (S-5x-y) уменьшается на y.
Ничего не выражаем.
2034 год. На остаток долга (S-5x-2y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится восьмая выплата В8. При этом сумма долга (S-5x-2y) уменьшается на y.
Ничего не выражаем.
Увидели закономерность? Переходите сразу к 2036 году. Не увидели? Продолжаем расписывать.
2035 год. На остаток долга (S-5x-3y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится девятая выплата В9. При этом сумма долга (S-5x-3y) уменьшается на y.
Ничего не выражаем.
2036 год. На остаток долга (S-5x-4y) начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится десятая выплата В10 и долг наконец-то погашен и равен 0.
Подставляем известные величины и выражаем В10.
Кстати говоря, из равенства S-5x-5y=0 следует, что 5x+5y=1300.
Общая сумма выплат - это все платежи за 10 лет. Просуммируем все десять выплат. Т.к. сумма долга, а значит, и выплаты, уменьшаются равномерно, то мы имеем дело с арифметической прогрессией. Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии для первых пяти лет и для вторых.
Решим уравнение:
Т.к. 5x + 5y = 1300, то y = (1300 - 5x) : 5 = 260 - x. Сделаем замену и получим уравнение относительно одного неизвестного.
Подставим найденный х в формулу для нахождения выплаты за 2027 год (В1):
Ответ: 380 тыс. рублей.
Прототипы задачи
Задачка:
В июле 2027 года планируется взять кредит на десять лет на сумму 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2028, 2029, 2030, 2031, 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2033, 2034, 2035, 2036, 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит платеж в 2029 году?