В августе 2027 года Алина планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 13% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;
— в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;
— к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1690 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.
Решение задачи
Дано:
S - сумма кредита
а = 15% - проценты, которые начисляются первые 4 года
m - 1+а/100 = 1,15 - число, показывающее во сколько раз увеливается долг первые 4 года
а1 = 13% - проценты, которые начисляются в следующие 4 года
m1 - 1+а1/100 = 1,13 - число, показывающее во сколько раз увеливается долг следующие 4 года
Bn - выплаты
(В1 + ... + В8) - S = 1690 тыс. рублей
Найти: S.
Решение:
Т.к. долг уменьшается на одну и ту же величину в период всего действия кредита, то он уменьшается на S/8 каждый раз после выплат (сумму кредита поделили на 8 лет).
2028 год.
На сумму S начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится первая выплата В1. При этом долг уменьшается на S/8.
Выразим В1.
2029 год.
На сумму 7S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится вторая выплата В2. При этом долг уменьшается на S/8.
2030 год.
На сумму 6S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится третья выплата В3. При этом долг уменьшается на S/8.
2031 год.
На сумму 5S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m раз. Производится четвертая выплата В4. При этом долг уменьшается на S/8.
Выразим В4.
2032 год. Проценты поменялись.
На сумму 4S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m1 раз. Производится пятая выплата В5. При этом долг уменьшается на S/8.
Выразим В5.
2033 год.
На сумму 3S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m1 раз. Производится шестая выплата В6. При этом долг уменьшается на S/8.
2034 год.
На сумму 2S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m1 раз. Производится седьмая выплата В7. При этом долг уменьшается на S/8.
2035 год.
На сумму S/8 начисляются проценты, т.е. сумма увеличивается в m1 раз. Производится восьмая выплата В8. Кредит погашен.
Выразим В8.
Т.к. выплаты уменьшаются равномерно, то используем формулу суммы n первых член арифметической прогрессии. Воспользуемся этой формулой для первых четырех лет и для вторых.
Выразим общую сумму выплат.
Т.к. разница между общей суммой выплат и суммой кредита равно 1690, то составим уравнение:
Ответ нужно выразить в млн. рублей.
Ответ: 2,6 млн. рублей.
Прототипы задачи
Задачка:
В августе 2027 года Дмитрий планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 14% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;
— в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;
— к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1 700 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.