При каких значениях параметра a уравнение 2а2+2ах-2х2-8а-6х+10|x|=0 имеет более трех корней?
Решение задачи
Рассмотрим два случая: когда x > 0 и когда x < 0.
При x > 0 уравнение примет вид:
Учитывая, что x > 0 получаем два неравенства:
При x < 0 уравнение примет вид:
Учитывая, что x < 0 получаем еще два неравенства:
В обоих уравнениях а находится в пределах от 0 до 4, т.е. а ∈ (0; 4).
В одной системе координат начертим графики функций
Для каждой функции сооружаем табличку:
Отмечаем точки на координатной плоскости и соединяем их. Не забываем про асимтоты: на рисунке ниже одна из асимптот отмечена черной пунктирной линией (а < 4), вторая - совпадает с осью ОХ (а > 0).
По рисунку определяем, где уравнение имеет больше трех корней. Синие пунктирные линии - это те места, где уравнение имеет ровно три корня (3 точки пересечения), в остальных местах, в пределах асимптот конечно же, уравнение имеет четыре корня.
Таким образом, если а находится в промежутках от 0 до 0,8, от 0,8 до 3,2 и от 3,2 до 4, то уравнение имеет более трех корней.
Ответ: а ∈ (0; 0,8)∪(0,8; 3,2)∪(3,2; 4).
Прототипы задачи
Задачка:
При каких значениях параметра a уравнение а2-4х2+8|x|-4=0 имеет ровно два различных корня?
Ответ:
(-∞; -2)∪{0}∪(2; +∞)
Задачка:
При каких значениях параметра a уравнение -2x2+9|x|+a2-6а+ax-3х=0 имеет меньше четырех различных решений?
Ответ:
(-∞; 0]∪{2}∪{4}∪[6; +∞)
Задачка:
При каких значениях параметра a уравнение (a-x)2+4a+1=(2x+1)2-8|x| имеет четыре различных корня?