На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны АВ.
а) Докажите, что СМ = 1/2DK.
б) Найдите расстояние от точки М до центров квадратов, если АС = 10, ВС = 32 и ∠АСВ = 30°.
Решение задачи
Достроим треугольник АВС до параллелограмма ACBZ
а) Пусть ∠DCK = α, тогда ∠ACB = 180° - α (не забываем, что по бокам углы по 90°).
Т.к. ACBZ - параллелограмм, то АС || BZ и ∠CBZ = 180° - ∠ACB = 180° - (180° - α) = α (сумма односторонних углов равна 180°).
ΔCDK = ΔСBZ по двум сторонам и углу между ними, т.к. ∠DCK = ∠ACB = α; CD = CA и KC = CB (как стороны квадратов). Из равенства треугольников следует, что DK = CZ.
CZ - диагональ параллелограмма и точкой пересечения M делится пополам. Следовательно, СМ =1/2СZ = 1/2DK.
б) Пусть О - центр квадрата AEDC. Тогда MO - одно из искомых расстояний.
В треугольнике ADB MO - средняя линия, параллельная основанию BD.