В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A1B1,B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем B1K:KC1=2:3. Четырехугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5. а) Докажите, что точка N – середина ВС. б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы равен 20, а высота призмы равна 2. Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

2411

29 ноября 2023

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁,B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем B₁K:KC₁=2:3. Четырехугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.

а) Докажите, что точка N – середина ВС.

б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы равен 20, а высота призмы равна 2.

Решение задачи

а) Т.к. B₁K : KC₁= 2 : 3, то B₁K = 2х, KC₁ = 3x, B₁C₁ = BC = 5x.

Т.к. ∠MB₁K = ∠ABN (основания прямой призмы одинаковы) и MK || AN (AMKN – равнобедренная трапеция), то MK и AN отсекают пропорциональные отрезки MB₁ и AB, B₁K и BN (теорема Фалеса).

Отсюда ∆MB₁K ~ ∆ABN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон:

$\frac{B_{1} K}{B N} = \frac{M K}{A N}; \frac{2 x}{B N} = \frac{4}{5}; B N = 2, 5 x .$

Если BN = 2,5x, то NC = BC - BN = 5x - 2,5x = 2,5x. Следовательно, N – середина ВС.

б) Найдем площадь параллелограмма ABCD (основания призмы).

$V_{п р и з м ы} = S_{A B C D} \cdot h; S_{A B C D} = \frac{V_{п р и з м ы}}{h} = \frac{20}{2} = 10 .$

Т.к. N – середина ВС, то S_ABN = 1/4S_ABCD = 1/4 ∙ 10 = 2,5 (Наглядно это можно увидеть на рисунке и, в принципе, доказать. Все четыре треугольника будут равны по трем сторонам)

Проведем высоты BH ⊥ AN B₁H₁ ⊥ MK.

$S_{A B N} = \frac{1}{2} \cdot A N \cdot B H; B H = \frac{S_{A B N}}{\frac{1}{2} \cdot A N} = \frac{2, 5}{\frac{1}{2} \cdot 5} = 1 .$

Т.к. ∆MB₁K ~ ∆ABN, то

$\frac{B_{1} H_{1}}{B H} = \frac{M K}{A N}; \frac{B_{1} H_{1}}{1} = \frac{4}{5}; B_{1} H_{1} = 0, 8 .$

Рассмотрим прямоугольную трапецию B₁BHH₁. Проведем в ней высоту H₁L. Найдем H₁H.

В треугольнике HH₁L H₁L = B₁B = 2, HL = BH - BL = BH - H₁B₁ = 1 - 0,8 = 0,2. По теореме Пифагора

$H_{1} H = \sqrt{H L^{2} + H_{1} L^{2}} = \sqrt{0, 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4, 04} = = \sqrt{\frac{404}{100}} = \frac{2 \sqrt{101}}{10} = \frac{\sqrt{101}}{5} .$

HH₁ – высота трапеции AMKN, т.к. по теореме о трех перпендикулярах H₁ L ⊥ BH, BH ⊥ AN ⇒ H₁H ⊥ AN.

Найдем площадь трапеции AMKN.

$S_{A M K N} = \frac{M K + A N}{2} \cdot H H_{1} = \frac{4 + 5}{2} \cdot \frac{\sqrt{101}}{5} = \frac{9 \sqrt{101}}{10} .$

Ответ: $\frac{9 \sqrt{101}}{10} .$

Попробуй решить самостоятельно

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁,B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем B₁K:KC₁=1:3. Четырехугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.

а) Докажите, что точка N – середина ребра ВС.

б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы равен 24, а высота призмы равна 3.

Ответ:

$\frac{3 \sqrt{37}}{2}$ .

Показать ответ

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дисперсия, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Математическое ожидание, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стандартное отклонение, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Попробуй решить самостоятельно

Задачи по темам