Задача

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁,B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем B₁K:KC₁=2:3. Четырехугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.

а) Докажите, что точка N – середина ВС.

б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы равен 20, а высота призмы равна 2.

Решение задачи

а) Т.к. B₁K : KC₁= 2 : 3, то B₁K = 2х, KC₁ = 3x, B₁C₁ = BC = 5x.

Т.к. ∠MB₁K = ∠ABN (основания прямой призмы одинаковы) и MK || AN (AMKN – равнобедренная трапеция), то MK и AN отсекают пропорциональные отрезки MB₁ и AB, B₁K и BN (теорема Фалеса).

Отсюда ∆MB₁K ~ ∆ABN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон:

Если BN = 2,5x, то NC = BC - BN = 5x - 2,5x = 2,5x. Следовательно, N – середина ВС.

б) Найдем площадь параллелограмма ABCD (основания призмы).

Т.к. N – середина ВС, то S_ABN = 1/4S_ABCD = 1/4 ∙ 10 = 2,5 (Наглядно это можно увидеть на рисунке и, в принципе, доказать. Все четыре треугольника будут равны по трем сторонам)

Проведем высоты BH ⊥ AN B₁H₁ ⊥ MK.

Т.к. ∆MB1K ~ ∆ABN, то

Рассмотрим прямоугольную трапецию B₁BHH₁. Проведем в ней высоту H₁L. Найдем H₁H.

В треугольнике HH₁L H₁L = B₁B = 2, HL = BH - BL = BH - H₁B₁ = 1 - 0,8 = 0,2. По теореме Пифагора

HH₁ – высота трапеции AMKN, т.к. по теореме о трех перпендикулярах H₁ L ⊥ BH, BH ⊥ AN ⇒ H₁H ⊥ AN.

Найдем площадь трапеции AMKN.

Прототипы задачи

Задачка:

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁,B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем B₁K:KC₁=1:3. Четырехугольник AMKN – равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.

а) Докажите, что точка N – середина ребра ВС.

б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы равен 24, а высота призмы равна 3.

Ответ:

(3√37)/2.

ОГЭ

Решение задачи

Прототипы задачи

ЕГЭ (базовый уровень)

ЕГЭ (профильный уровень)