В октябре 2027 года Борис планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 2560 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;

- в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;

- в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же величину Q меньше долга на октябрь предыдущего года;

- в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;

- к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите величину Q, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 4168 тыс. рублей.

Решение задачи

Дано:

S = 2560 тыс. рублей – сумма, взятая в кредит

n = 7 лет – срок кредита

a = 15% - проценты

m = 1 + a/100 = 1,15 – число, показывающее во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов

В_n - выплаты

В₁+…+В₇ = 4168 тыс. рублей – общая сумма выплат

В₆ = В₇

Q – ежегодное уменьшение долга

Найти: Q.

Решение:

Первые пять лет долг и выплаты уменьшаются на одну и ту же величину. В перспективе будем пользоваться формулой первых n членов арифметической прогрессии. Это значит, что нам понадобятся первая и пятая выплаты.

2028 год.

На сумму долга S начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В₁. При этом сумма кредита уменьшается на Q тыс. рублей.

Выразим первую выплату В₁.

2029 год.

На сумму долга (S-Q) начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В₂. Сумма кредита уменьшается на Q.

2030 год.

На сумму долга (S-2Q) начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В₃. Сумма кредита уменьшается на Q.

2031 год.

На сумму долга (S-3Q) начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В₄. Сумма кредита уменьшается на Q.

2032 год.

На сумму долга (S-4Q) начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В₅. Сумма кредита уменьшается на Q.

Выразим первую выплату В₅.

Следующие два года выплаты одинаковые. Долг уже не уменьшается на одну и ту же величину.

2033 год.

На сумму долга (S-5Q) начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В₆. На сколько уменьшается сумма кредите мы не знаем.

2034 год.

На сумму долга (S-5Q)m – B₆ начисляются проценты, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится выплата В₇=B₆. Кредит выплачен. Выражаем В₆.

Запишем общую сумму выплат.

После не очень приятных преобразований получаем дробь:

Решим это уравнение. Умножим обе части на 2,15 и выразим Q.

Ответ: 340 тыс. рублей.