15 января 2027 года планируется взять кредит в банке на 5 лет. Условия его возврата таковы:&nbsp;– 1 января каждого года долг увеличивается на 12% по сравнению с концом предыдущего года;&nbsp;– со 2 по 14 января каждого года необходимо внести один платеж;&nbsp;– 15 января 2028, 2029, 2031 и 2032 годов долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму по сравнению с долгом на 15 января предыдущего года;&nbsp;– 15 января 2030 года, то есть после третьего платежа, долг должен стать на 50% меньше, чем 15 января 2029 года;&nbsp;– к 15 января 2032 года кредит должен быть полностью погашен.&nbsp;Известно, что общая сумма всех выплат составила 4,08 млн рублей. Найдите первоначальную сумму кредита. Решение. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ по математике

10 июня 2026

15 января 2027 года планируется взять кредит в банке на 5 лет. Условия его возврата таковы:

– 1 января каждого года долг увеличивается на 12% по сравнению с концом предыдущего года;

– со 2 по 14 января каждого года необходимо внести один платеж;

– 15 января 2028, 2029, 2031 и 2032 годов долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму по сравнению с долгом на 15 января предыдущего года;

– 15 января 2030 года, то есть после третьего платежа, долг должен стать на 50% меньше, чем 15 января 2029 года;

– к 15 января 2032 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма всех выплат составила 4,08 млн рублей. Найдите первоначальную сумму кредита.

Решение задачи

Дано:

S млн. рублей - сумма кредита

n = 5 лет - срок кредита

r = 12% - проценты, которые начисляются на сумму долга

m = 1 + r/100 = 1,12 - полезный коэффициент, позволяющий сразу вычислить чему равен долг после начисления процентов

x_n - выплаты

x₁ + ... + x₅ = 4,08 млн. рублей - общая сумма выплат

Найти: r

Решение:

Пусть долг каждый год уменьшается на y млн. рублей.

1 год (2028).

На сумму долга S начисляются 12%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится первая выплата х₁. Долг уменьшился на y млн. рублей.

$S m - x_{1} = S - y .$

Подставим известные величины:

$1, 12 S - x_{1} = S - y .$

Выразим первую выплату:

$x_{1} = 1, 12 S - S + y = 0, 12 S + y .$

2 год (2029).

На сумму долга (S-y) начисляются 12%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится вторая выплата х₂. Долг уменьшился на y млн. рублей.

$(S - y) m - x_{2} = S - y - y = S - 2 y .$

Подставим известные величины:

$(S - y) \cdot 1, 12 - x_{2} = S - 2 y; 1, 12 S - 1, 12 y - x_{2} = S - 2 y .$

Выразим вторую выплату:

$x_{2} = 1, 12 S - 1, 12 y - S + 2 y = 0, 12 S + 0, 88 y .$

3 год (2030).

На сумму долга (S-2y) начисляются 12%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится третья выплата х₃. Долг уменьшился на y млн. рублей и при этом стал равным половине (50%) долга за предыдущий год (по условию задачи).

$(S - 2 y) m - x_{3} = \frac{1}{2} (S - 2 y) .$

Подставим известные величины:

$(S - 2 y) \cdot 1, 12 - x_{3} = \frac{1}{2} (S - 2 y); 1, 12 S - 2, 24 y - x_{3} = 0, 5 S - y .$

Выразим третью выплату:

$x_{3} = 1, 12 S - 2, 24 y - 0, 5 S + y = 0, 62 S - 1, 24 y .$

4 год (2031).

На сумму долга (0,5S-y) начисляются 12%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз. Производится четвертая выплата х₄. Долг уменьшился на y млн. рублей.

$(0, 5 S - y) m - x_{4} = 0, 5 S - y - y = 0, 5 S - 2 y .$

Подставим известные величины:

$(0, 5 S - y) \cdot 1, 12 - x_{4} = 0, 5 S - 2 y; 0, 56 S - 1, 12 y - x_{4} = 0, 5 S - 2 y .$

Выразим четвертую выплату:

$x_{4} = 0, 56 S - 1, 12 y - 0, 5 S + 2 y = 0, 06 S + 0, 88 y .$

5 год (2032).

На сумму долга (0,5S-2y) начисляются 12%, т.е. сумма долга увеличивается в m раз.Производится пятая выплата х₅. Долг уменьшился на y млн. рублей. Кредит выплачен.

$(0, 5 S - 2 y) m - x_{5} = 0, 5 S - 2 y - y = 0 .$

Подставим известные величины и выразим пятую выплату:

$(0, 5 S - 2 y) \cdot 1, 12 - x_{5} = 0; x_{5} = 0, 56 S - 2, 24 y .$

Из выделенного жирным шрифтом равенства выразим y.

$0, 5 S - 2 y - y = 0; 0, 5 S - 3 y = 0; 3 y = 0, 5 S; y = \frac{1}{6} S .$

Известно, что общая сумма выплат равна 4,08 млн. рублей, значит,

$x_{1} + . . . + x_{5} = 0, 12 S + y + 0, 12 S + 0, 88 y + 0, 62 S - 1, 24 y + + 0, 06 S + 0, 88 y + 0, 56 S - 2, 24 y = 1, 48 S - 0, 72 y = 4, 08 .$

Зная, что $y = \frac{1}{6} S,$ решим получившееся уравнение и найдем S.

$1, 48 S - 0, 72 y = 4, 08; 1, 48 S - 0, 72 \cdot \frac{1}{6} S = 4, 08; 1, 48 S - 0, 12 S = 4, 08; 1, 36 S = 4, 08; S = 3 млн . рублей .$

Ответ: 3 млн. рублей.

Внимание!

Копирование с сайта primerov.net любого текстового или графического контента в целях публикации на других сторонних ресурсах или иных коммерческих целей строго запрещено!

Мы Вас предупредили!

Аннуитетный платеж, Арифметическая прогрессия, Баржа, Биквадратное уравнение, Векторы ЕГЭ, Велосипедисты, Вероятность и статистика, Вертикальные углы, Вклады, Вписанные и центральные углы, ВПР 5 класс, Геометрическая прогрессия, Геометрия ОГЭ, Гипербола, Графики, Движение навстречу, Движение по воде, Движение по прямой, Действия с десятичными дробями, Действия с обыкновенными дробями, Деревни, Дифференцированный платеж, Домохозяйство, Задачи на движение, Задачи на работу, Задачи на части, Задачи с параметром, Задачи с процентами, Задачи с углами, Иррациональные уравнения, Касательные к окружности, Квадрат, Квадратичная функция, Квадратные неравенства, Квадратные уравнения, Квадратный корень, Квартира, Кислоты, растворы, сплавы, Конус, Координатная прямая, Корень n-ой степени, Косинус двойного угла, Круги Эйлера, Круговое движение, Куб, Кубическое уравнение, Линейная функция, Линейные неравенства, Линейные уравнения, Листы, Логарифмическая функция, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения, Логарифмы, Масштаб, Медианы треугольника, Метод интервалов, Многоугольники, Модуль, Наибольшее и наименьшее значения функции, Накрест лежащие углы, Нахождение части от числа, Нахождение числа по его части, Неравенства, Объем конуса, Объем куба, Объем параллелепипеда, Объем пирамиды, Объем призмы, Объем цилиндра, Объем шара, Объемы, Односторонние углы, Окружность, Отношения, Парабола, Параллелепипед, Параллелограмм, Параллельные прямые, Первые пять заданий ОГЭ, Периметр, Печь, Пирамида, Площадь боковой поверхности, Площадь квадрата, Площадь круга, Площадь параллелограмма, Площадь полной поверхности, Площадь полной поверхности, Площадь прямоугольника, Площадь ромба, Площадь трапеции, Площадь треугольника, Подобие треугольников, Подстановка в формулы, Поезда, Показательная функция, Показательные неравенства, Показательные уравнения, Построение графиков, Построение сечений, Призма, Признаки равенства треугольников, Производные, Пропорция, Прямая, Прямоугольная трапеция, Прямоугольник, Прямоугольный треугольник, Равнобедренная трапеция, Равносторонний треугольник, Разложение на множители, Расстояние от точки до прямой, Ромб, Свежие фрукты, Свойства равнобедренного треугольника, Свойства степеней, Свойство биссектрис, Синус двойного угла, Синус суммы двух углов, Системы неравенств, Системы уравнений, Скалярное произведение, Смежные углы, Смешанные числа, Среднее арифметическое, Средняя линия, Средняя скорость, Стереометрия ЕГЭ, Тарифы, Текстовые задачи, Текстовые задачи практического содержания, Теорема Безу, Теорема косинусов, Теорема о трех перпендикулярах, Теорема Пифагора, Теорема синусов, Трапеция, Треугольник, Тригонометрические уравнения, Тригонометрия, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью, Уравнения с дробями, Формулы приведения, Функция с корнем, Цилиндр, Четырехугольники, Шар, Шины, Экономические задачи, Экстремум функции,

Решения задач

Материалы для печати

Презентации

Решение задачи

Задачи по темам